资源描述：
《初中数学奥林匹克中的几何问题：第3章托勒密定理及应用附答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三章托勒密定理及应用【基础知识】托勒密定理圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积.证明如图3・1,四边形ABCD内接于口O,在3D上取点使ZPAB=ZCAD，则△ABP^△ACDf于是—=—AB•CD=AC•BP.ACCD又厶ABCAAPD,有BCAD=ACPD.上述两乘积式相加，得ABCD+BC・AD=AC(BP+PD)=AC•BD.①注此定理有多种证法，例如也可这样证：作AE//BD交Ho于E,连肋，ED,则知BDAE为等腰梯形，有EB=4D,ED=4B,ZABD=ZBDE=&,且ZEBC+ZEDC=180。，令ZBAC=(p,/C与BD交于G,贝
2、I」SABC1)=丄AC-BDsinZAGD=丄AC■BD■sin(&+炉)=丄/C•DD•sinZEDC,222Sfmd-Sf、、FM+=—EB-BC•sinZEBC+—ED•DC•sin上EDC=_(EB・BC+ED・DC)・shZEDC=_(AD.BC+AB・DC'sinZEDC22易知Sabcd=Sebcd»从而有AB•DC+BC•AD=AC•BD.推论1（三弦定理）如果M是圆上任意一点，4B,AC,是该圆上顺次的三条弦，则AC•sinZBAD=AB•sinZCAD+AD•sinZCAB.②事实上，由①式，应用正弦定理将BD,DC,BC换掉即得②式.推论
3、2（四角定理）四边形ABCD内接于DO,则smZADC-sinZBAD=sinZABD•sinZBDC^smZADB^mZDBC.③事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式.直线上的托勒密定理（或欧拉定理）若力，B,C,D为一直线上依次排列的四点，则ABCD+BCAD=ACBD.注由直线上的托勒密定理有如下推论：若A,B,C,D是一条直线上顺次卩q点，点P是直线/Z）外一点，则sinZAPB•sinZCPD+sinZAPD•sinZBPC=sinZAPC•sinZBPD.事实上，如图3・2,设点P到直线/D的距离为方，p图3-2由・CD+HD•BC=4
4、C•BD,有S'PABS'PCD+$△PAD用两边及夹角正弦形式的三角形面积表示上式后，两边同除以丄只4PBPCPD即得推论.4由上述推论也可证明圆内接四边形中的托勒密定理.证明如图3・3,在图上取一点P,连P/、PB、PC、PD,设PB交MD于B‘,PC交AD于C'.由正弦定理sinZAPB=—fsrZCPD=—,sinZAPD=—,sZBPC=—,sinZAPC=—f2R2R2R2R2RsmZBPD=—,其中人为圆的半径.2R对/、C，、Z）应用直线上的托勒密定理的推论，有sinZAPB•sinZCP5+sinZAPD•sinZBPC=sinZAPS'
5、•sinZC'PD+sinZAPD•sinZB'PC'=smZAPC'•sinZB'PD=sinZAPC-sinZBPD.故ABCD+ADBC=ACBD.四边形中的托勒密定理（或托勒密不等式）设ABCD为任意凸四边形，则ABCD+BC4D2AC•BD,当且仅当B,C,D四点共圆时取等号.jnAC证明如图3-4,取点E使ZBAE=ZCAD,ZABE=ZACD,则厶ABEsAACD,即有—=—,AEABAC~ABCD~~BEAABCD=ACBE.①又ZDAE=ZCAB,有△ADEs厶acB,亦有AD•BC二AC•ED.②由①式与②式，注意到BE+EDMBD,有ABCD
6、+BCADHBE+ED&ACBD.其中等号当且仅当E在3D上，即ZABD=ZACD时成立.此时/,B,C,。四点共圆.由此，即有托勒密定理的逆定理在凸四边形ABCD中，若4BCD+BC・4D=4C・BD,则B,C,D四点共圆.【典型例题与基本方法】1.恰当地作出或选择四边形，是应用托勒密定理的关键例1在中，角力，B,C的对边分别为a,b,c.若角4,B,C的大小成等比数列，Hb2-a2=act则角B的弧度数等于多少？（1985年全国高中联赛题）解如图35过点C作CD//AB交AMC的外接圆TD,连AD,则四边形ABCD为等腰梯形.由托勒密定理，有b2=a2+c-C
7、D.图3—5由已知有b2=a2--c'ay则CD=a,从而AD二DC=CB,即QDC=2^BC,亦即ZB=2ZB4C.又因为在中，角A,B,C的大小成等比数列，贝IJ公比？=仝=2,从而厶4+/B+ZC=+2ZJ+4ZJ=7ZJ=K,故Z3=竺为所求.77例2凸四边形ABCD中，AABC=60°,ZBAD=ZBCD=90°,AB=2,CD=f对角线AC,BD交于点O.如图3・6,求sinZAOB.（1996年北京中学生竞赛题）图3-6解因ZBAD=ZBCD=90°,则B,C,D四点共圆.延长B4,CD交于P,贝ijZADP=AABC=60°.设/D=有AP=y
8、^x,DP
