初中数学奥林匹克中的几何问题：第7章九点圆定理及应用附答案

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1、第七章九点圆定理及应用【基础知识】九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共圆.如图7-1,设ZUBC三条高AD,BE,CF的垂足分别为D,E,F；三边BC,CA,AB的中点分别为厶，M,N；又AH,BH,C7/的中点分别为P,Q,R.求证：D,E,F,L,M,N,P,Q,R九点共圆.图7-1证法1连PQ,QL,LM,MP,则知LM^-BA//QP,即知LMPQ为平行四边形.又—2—LQ//CH丄BP//LM,LMPQ为矩形.从而L,M,P,Q四点共圆，且圆心V为P厶与QM的交点.同理，MAQR为矩形，从而厶，M,N,P,Q,R六点共圆，且

2、P厶，QM,均为这个圆的直径.由ZPDL=ZQEM=ZRFN=90°,矢口D,E,F三点也在这个圆上.故D,E,F,L,M,N,P,Q,R九点共圆.证法2设△4BC的外心为O,取OH的中点并记为V,连AO,以V为圆心，丄AO为半径作JV,如2图7-1.由疗〃丄OA,知P在口卩上.同理，Q,也在口V上.=2由OL//-AH（可由延长AO交△ABC的外接圆于K,得HBKC为平行四边形，此时厶为KH的中点,_2则。厶为ZAKH的中位线即得），矢0OL//PH.又=知/OLV=/HPV,从而VL=VP=^OAf且厶，V,P共线，故厶在□V±.同理，M,N在□V±.由厶，V,P共线知厶P

3、为LIU的一条直径.XZ.LDP=90°,ZM£e=90°,ZNFR=90°,知D,E,F在DV上，故D,E,F,厶，M,N,P,Q,/?九点共圆.上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆.证法3由RtACBFsRtAABD,有竺=聖.注意到厶、/V分别为BC、%的中点，BFBD则匹=空,即BLBD=BFBN,这表明厶、D、F、W四点共圆（或者联结N厶、DF,则由BFBDZBDF=ZBAC=ZBNL知L、D、F、N四点共圆）.同理，厶、D、E、M及E、M>F、N分别四点共圆.由戴维斯定理，即知厶、D、E、M、F、N六点共圆于「•又RtACH

4、D^RtACBF,W—=—,注意R、厶分別为CH、CB中点，则—,知R、F、CDCFCDCFL、D共圆，即点R在圆r±.同理，点p、Q也在圆r±,故九点均在圆厂上.注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合），若每两对点同在一个圆上，则三对点（六点）均在同一-圆上.事实上，若所说三个圆不重合.则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形.由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：推论1△ABC九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的屮点，九点圆的半径是△ABC的外接圆半径的2注意到△P0R与△A3C是以垂心H

5、为外位似中心的位似形，位似比是HP：HA=1：2,因此，可得推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是1：2的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连接线段被九点圆截成相等的两部分.注意到欧拉定理（欧拉线），又可得推论3/XABC的外心0,重心G,九点圆圆心V,垂心这四点（心）共线，且0G：=1：2,GV：V/7=1：3,或O和V对于G和H是调和共觇的，即—.GVHV推论4AABC的九点圆与'ABC的外接圆乂是以'ABC的重心G为内位似屮心，位似比为1:2的位似形.事实上，因G为两相似三角形△厶MN与△ABC的相似中心，而△厶MN的外接圆即△ABC的九点圆.推

6、论5一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆.【典型例题与基本方法】例1如图7-2，设〃为△ABC的垂心，厶为3C边的中点，P为的中点•过厶作P厶的垂线交AB于G,交AC的延长线于K.求证：G,B,K,C四点共圆.证明设△ABC的外心为O,在OH,取OH的中点V,则U为△ABC九点圆的圆心.连A0,则AO//PV,从而A0丄GK•设N为43的中点，连0N,则QV丄AG,由此知AAON=ZAGL・X^ACL=^AON,贝IJZACL=ZAGL.从而ZBGL=ZBGK=ZKCL=kKCB.故B,K,C,G四点共圆.例2试证：'ABC的垂心

7、H与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分.证明如图7-3,过垂心H作△ABC外接圆的两条弦DE,FG,连DF,EG.M//tFSGBNCE图7~3设M,N,S,卩分别为HD,HE,HF,HG的中点，贝9ZFDH=ZSMH,ZEGH=ZNTH.又ZFDH=ZEGH,则ZSMH=ZNTH.故M,S,T,N四点共圆，由DE,FG的任意性，得H与△ABC外接圆上任意点连线的屮点在同一圆上，由于这个圆过H4,HB,HC的中点，故这个圆就是AABC的九点圆，从而命题获证