初中数学奥林匹克中的几何问题：第6章西姆松定理及应用初中数学

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1、第六章西姆松定理及应用【基础知识】西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）．证明如图6-1，设为的外接圆上任一点，从向三边，，所在直线作垂线，垂足分别为，，．连，，由，，，四点共圆，有．又，，，四点共圆，有．故，即，，三点共线．注此定理有许多证法．例如，如下证法：如图6-1，连，令，，，则，，，且，，，，，．对，有．故由梅涅劳斯定理之逆定理，知，，三点共线．西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略）．西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在

2、此三角形的外接圆上．证明如图6-1，设点在的三边，，所在直线上的射影分别为，，，且此三点共线．由于，于，于，知，，，及，，，分别四点共圆，而与相交于，则，从而，，，四点共圆，即点在的外接圆上．【典型例题与基本方法】1．找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键例1如图6-2，过正外接圆的上点作直线于，作于，作于．求证：．证明由直线于，于，于，知，，，及，，，分别四点共圆，则，．由西姆松定理，知，，三点共线，从而以为视点，对应用张角定理，有，即，故．例2如图6-3，设，，为的三条高线，自点作于，于，于，于，连．求证：，在直线

3、上．证明由于的外接圆为，而为该圆上一点，且在三边所在直线上的射影分别为，，，于是，由西姆松定理知，，三点共线．同理，可证，，是的西姆线上三点．由于直线与直线有两个公共点，，所以这两直线重合，故，在直线上．例3如图，设为外接圆上一点，作交圆周于，作直线交圆周于，作交圆周于．求证：．证明设于，上直线于，于，则由西姆松定理知，，三点共线．注意到，，，及，，，分别四点共圆，连，则，于是．同样，注意到，，，及，，，分别四点共圆，连，则，于是．由，，，四点共圆，知．注意到，则，于是，故．例4如图6-5，设为外接圆上内一点，过作于，作直线于，设为的垂心．延长至

4、，使．求证：．（1979年山西省竞赛题改编）证明连并延长交于，交圆于，则由，知．又由已知，且，连，则知与关于对称，从而．由于从点已向的两边所在直线，引了垂线，，再过点向边所在直线作垂线，垂足为，则由西姆松定理，知，，三点共线，设西姆松线与交于．此时，又由，，，四点共圆，有．在中，与互余；在中，与互余．故，由此即知，故．例5如图，设为外接圆上一点，过点分别作于，作直线于，直线交边上的高线于，设为的垂心．求证：．证明由于从点引了的边，所在直线的垂线，再过点作于，则由西姆松定理，知，，三点共直线，即，，，四点共线．设边上的高线为，延长交圆于，连交于，交

5、西姆松线于，连交西姆松线于．由，，，四点共圆及，，，共圆，连，则，从而，即为的斜边的中点．连，由，知，有，从而，即是的中位线，亦即．又，有及，于是，即有，亦即四边形为平行四边形，故．注由此例可得，三角形外接圆周上一点与垂心的连线段，被关于点的西姆松线所平分，这是西姆松线的一条重要性质．2．注意发现四点共圆与三点共线的联系，灵活应用西姆松定理及其逆定理例6如图，延长凸四边形的边，交于，延长，交于．试证：，，，的四个外接圆共点．证明设与的两个外接圆除交于点外，另一交点为．设点在直线，，上的射影分别为，，，则由西姆松定理，知，，三点共线．同样，点在直线

6、，，上的射影，，也三点共线，故，，，四点共线．在中，在上，在上，在边所在直线上，且，，三点共线，则由西姆松定理的逆定理，知点在的外接圆上．在中，在直线上，在上，在上，且，，三点共线，由西姆松定理的逆定理，知点在的外接圆上．故，，，的四个外接圆共点．注此例题的结论实际为宪全四边形的四个三角形、、、的外接圆共点，此点称为密克尔()点，直线称为完全四边形的西姆松线．【解题思维策略分析】1．证明点共线的又一工具例7如图，设为四边形外接圆上任一点，点在直线，，，，上的射影分别为，，，，又点在直线，，，上的射影分别为，，，．求证：，，，共线．证明连，过作的垂

7、线，垂足为．从而，点关于的西姆松线为同样，点关于的西姆松线为．由，知点在的外接圆上，由西姆松定理，知点在三边上的垂足，，共线．同理，，，三点也共线．故，，，四点共线（此直线称为点圆内接四边形关于的西姆松线）．2．注意西姆松线在转化问题中的媒介作用例8如图，设为外接圆周上任一点，点关于边，所在直线的对称点分别为，．求证：直线经过的垂心．证明由于，分别为点关于直线，的对称点，设交直线于，变直线于，则，分别为点在的边，所在直线上的射影，且，分别为线段，的中点．由西姆松定理，知为西姆松线，此时．又由前面例5知，当为的垂心时，直线平分线段．于是，可知点在直

8、线上，即直线经过点．例9如图，一条直线与圆心为的圆不相交，是上一点，，是上任意异于的点，从作的两条切线分别切圆于和，是上的点，使得，是上