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时间:2019-09-20
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1、海文教育教师一对一海聚细流,文润蜀州!直线与圆的位置关系 传江哥提供 已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线L:Ax+By+C=0 1.位置关系的判定: 判定方法1:联立方程组得到关于x(或y)的方程 (1)△>0相交; (2)△=0相切; (3)△<0相离。 判定方法2:若圆心(a,b)到直线L的距离为d (1)dr相离。 例1、判断直线L:(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O:x2+y2=9的位置关系。 法一
2、:直线L:m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点, ∵点P在圆O内, ∴直线L与圆O相交。 法二:圆心O到直线L的距离为 当d<3时,(2m-1)2<9(2m2+2), ∴14m2+4m+17>0 ∴m∈R 所以直线L与直线O相交。 法三:联立方程,消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0 ∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17) 当m≠1时,△>0,直线与圆相交; 当m=1时,直线L:,此时直线L与
3、圆O相交 综上得直线L与圆O恒相交。 [评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法,但计算量偏大;而法一是先观察直线的特点再结合图,避免了大量计算,因此体现了数形结合的优点。地址:德阳市天山南路二段17号咨询电话:0838-253344海文教育教师一对一海聚细流,文润蜀州! 例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值 法一:设P(cosα,sinα)为圆上一点,则点P到直线的距离为 = ∴当 时,dmin=4. 法二:如图,直线L过圆心,且与直线3x+4y=25垂直
4、于点M,此时,l与圆有两个交点A、B, ∵原点到直线3x+4y=25的距离
5、OM
6、=5, ∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的 最大值为:
7、AM
8、=
9、OM
10、+r=5+1=6 最小值为:
11、BM
12、=
13、OM
14、-r=5-1=4 [评]法二是几何做法,充分体现了它计算量小的优势。 2.切线问题: 例3: (1)已知点P(x0,y0)是圆C:x2+y2=r2上一点,求过点P的圆C的切线方程;(x0x+y0y=r2) 法一: ∵点P(x0,y0)是圆C:x2+y2=r2上一点,∴ 当x0≠0且y0
15、≠0时,地址:德阳市天山南路二段17号咨询电话:0838-253344海文教育教师一对一海聚细流,文润蜀州! ∴切线方程为 当P为(0,r)时,切线方程为y=r,满足方程(1); 当P为(0,-r)时,切线方程为t=-r,满足方程(1); 当P为(r,0)时,切线方程为x=r,满足方程(1); 当P为(-r,0)时,切线方程为x=-r,满足方程(1); 综上,所求切线方程为x0x+y0y=r2 法二:设M(x,y)为所求切线上除P点外的任一点,则由图知
16、OM
17、2=
18、OP
19、2+
20、PM
21、2, 即x
22、2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2 ∴x0x+y0y=r2且P(x0,y0)满足上面的方程。 综上,所求切线方程为x0x+y0y=r2。 (2)已知圆O:x2+y2=16,求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。 解:当PT方程为x=4时,为圆O的切线,满足题意: 设PT的方程为y-6=k(x-4),即kx-y-4k+6=0 则圆心O到PT的距离为 所以PT的方程为 综上,切线PT的方程为x=4,5x-12y+52=0 [评] (1)判断直线与圆的位置关系有两种方法,但利用圆心
23、到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。 (2)过圆外一点向圆引切线,应有两条;过圆上一点作圆的切线,只有一条。 例4、求过下列各点的圆C:x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程: (1); (2)B(4,5) 解: (1)圆C:(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2),r=3,且点A在圆C上, 法一:设切线方程为,则圆心到切线的距离为 , ∴所求切线方程为地址:德阳市天山南路二段17号咨询电话:0838-253344海文教育教师一对一海聚细流,文润蜀州! 法二:
24、∵AC⊥l, ∴所求切线方程为 (2)点B在圆外,所以过B点的切线有两条 设切线方程为y=k(x-4)+5,则圆心C到切线的距离为 又直线x=4也是圆的切线方程, ∴所求切线方程为 例5、设点P(x,y)是圆x2+y2=1上任一点,求的取值范围。 法一:u表示过点(-1,2)且与圆有交点的直线l的斜率, 如图,当直线l与圆相切时,PA的斜率不存在, 直线PB的方程为ux-y+u
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