直接证明与间接证明练习题

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1、2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3.反证法假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的

2、结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立题型一：用综合法证明数学命题例1：对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1)若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；解析：（1）取可得．又由条件①，故．（2）显然在[0，1]满足条件①；也满足条件②．若，，，则，即满足条件③，故理想函数．注：紧扣定义，证明函数（）满足三个条件7题型二：用分析法证明数学命题例2：已知：，求证：.证明：∵∴要证，去分母后需要证：（1－a）+

3、4a≥9a（1—a），移项合并同类项，即需要证：9—6a+1≥0，即要证；…………（1）而（1）式显然成立，∴原不等式成立。题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3：已知，证明方程没有负数根解析：假设是的负数根，则且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法。即“正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立。选择题1.用反证法证明命题：若整系数方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）.A、假设都是偶数B、假设都不是偶数C、假设中至多有一个

4、偶数D、假设中至多有两个偶数7ABCxyPOFE答案；B2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案：B3.已知，则使得都成立的取值范围是（B）A.（0，）B（0，）C.（0，）D.（0，）提示；x∈（0，），由得出结论。填空题4．若，则=____________.答案：5005.如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程：()。答案：12　34　5　67　8

5、　9　1011　12　13　14　15………………6．将全体正整数排成一个三角形数阵：7按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为答案：。解答题7.若且，求证：[解析]要证，只需证即，因，只需证即，设，则成立，从而成立8.在锐角三角形中,求证:[解析]为锐角三角形，，在上是增函数，同理可得，9.设为非零向量，且不平行，求证，不平行[解析]假设，则，不平行，7，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立10.已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、、不可能成等差数列[解析]a、b、c成等差数列，假设、、成等差数列，则，从而与矛盾，、、不可能成等差数列11.已知证明

6、：[解析]即证：设.当x∈（-1，0）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；当x∈（0，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；∴x=0为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(0)=0.即12.已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．求证：；[解析]三个函数的最小值依次为，，，由，得∴，故方程的两根是，．故，．7，即∴．改变后直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：若整系数方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）.A、假设都是偶数B、假设都不是偶数C、假设中至多有一个偶数D、假设中至多有两个偶数2．若三角形能剖分为两个与自己

7、相似的三角形，那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3．若，则=____________.4.若且，求证：5.在锐角三角形中,求证:6.设为非零向量，且不平行，求证，不平行77.已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、、不可能成等差数列8.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1)若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；7