高中数学人教A版选修4-5学案：第3讲3排序不等式含解析

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1、三排序不等式1学习目标导航｝1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题.（重点、难点）k）阶段1〔认知硕习质疑（知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理1顺序和、乱序和、反序和的概念阅读教材P4I〜P42“探究”以上部分，完成下列问题.设QiWq2Wq3W・・・Wq”，bWb2Wb3W…Wbn为两组实数,C1，C2,…，c“是bi，仇，…，久的任一排列，则称Qi与50=1,2,•・・，〃）的相同顺序相乘所得积的和q血卜a迦为顺序和，和q丄Cj.+©©dF°也为乱序和，相反顺序相乘所得积的和亿边总+©如-丄他如称为反序和.教材整理

2、2排序不等式阅读教材P42〜卩44,完成下列问题.设aiWd2W・・・Wa“,bWb2W・・・Wb“为两组实数,c,C2,…，c“是方】,仇，…，bn的任一排歹lj,贝ljQ丄如+©如一j.d如W勺勺+©egHFWQlPz+讪2+d曲,当JEL仅当a［=a2==an或枷=伤=・・・=加吋，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和W乱序和W顺序和.［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问］:解惑：疑问2:解惑：疑问3:解惑:阶段2翻［小组合作型］类型1用排序不等式证明不等式（字母大小已定）已知a,b,c为正数,a2b2c,求证：丄小Q丄厅丄疋、1丄1丄1⑵汗+

3、而+而计尹卩【精彩点拨】由于题目条件中已明确&b2c,故可以直接构造两个数组.【自主解答】（I）"纹>0,于是+冬£又少0,・・・》0,从而吉2同理，•:b2少0,于是民,.•.a>0,・••丄>0,于是得丄$+，acaab"从而£三丄becaan（2）由⑴知吉$右$書且aPbPc>0,・・・4如命心2处由排序不等式，顺序和上乱序和得名师利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.［再练一题］5>5522/21.本例题中条件不变，求证：而+而+产戸戸【证明】°：a2b三c20,/.6z5^Z)5^c5,・・・丄>

4、丄>丄bc=ac=ba，・••拮7三*?》了耳，由顺序和鼻乱序和得/护FC*5a'而+抡+而诂+抡+而圧圧圧_壬+产+戸，»例・・而+拧+而冷+尹产类型2►字母大小顺序不定的不等式证明设G,b,C为正数，求证：守+晳+守W盍+2+和【精彩点拨】(1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给岀G,b,c的大小顺序.解答本题时不妨先设定aWbWc,再利用排序不等式加以证明.【自主解答】不妨设0

5、两边除以2,铲/+XX+疋/+/<£££寸2c2a2b^bccaah'在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：（1）要根据各字母在不等式屮地位的对称性，限定一种大小关系.（2）若给出的字母不具有对称性，一定不能肓接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论.［再练一题］1.设⑦，。2‘…'为正数，求证:【导学号:32750056］+21-2a-QCln+芽汶卄+・•卄.【证明】不妨设0…Wq”，则丄2丄鼻…鼻丄.ciCI2cin由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以+22-3d-d+-21-2dQ+丄422+丄•42.1d>-Z2L1£d++一丄2a-Q

6、+22-3a-a-2/zd»例类型3利用排序不等式求最值设A,B,C表示△ABC的三个内角,a,b,c表示其对边，求必+bg+cCa+b+c的最小值S，B,C用弧度制表示）.【精彩点拨】不妨设a^b^c>0,设法构造数组，利用排序不等式求解.【自主解答】不妨设a2b三c,则A2B三C.由排序不等式，得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cC鼻bA+cB+ciC,ch4+bB+cC2cA+aB+bC,将以上三式相加，得3(必+b3+cC)+b+

7、J1.分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组.2.运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值.［再练一题］2221.已知x,y,z是正数，且x+y+z=f求/=二+十+牛的最小值.丿/厶儿【解】不妨设x^y^z>Of则x2^/^z2,丄2丄2丄zy由排序不等式，乱序和2反序和.丄+尹2丄+么2.丄x7yz=x+y+z.v2v2z2又x+y+z=9」+丄+一21