《线性代数逆矩阵》PPT课件

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1、一背景二逆矩阵的概念与性质三应用四小结第三节逆矩阵课前复习矩阵运算加法数乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵矩阵的幂线性运算对称矩阵反对称矩阵乘法运算中的１，在数的运算中，当数α≠０时，则称为的倒数，个矩阵，在矩阵的运算中，一、背景1、数2、矩阵则矩阵Ａ称为的可逆矩阵，（或称为的逆）；有单位阵Ｅ相当于数的那么，对于矩阵Ａ，如果存在一有称为的逆阵.3、线性变换它的系数矩阵是一个n阶矩阵，若记则上述线性变换可表示为按Cramer法则，若，则由上述线性变换可解出在按第列展开得即则可用线性表示为若令

2、易知这个表达式是唯一的.这是从到的线性变换，称为原线性变换的逆变换.若把此逆变换的系数记作，则此逆变换也可以记作为恒等变换所对应的矩阵，故因此于是有由此，可得可见又例使得的逆矩阵记作二、逆矩阵的概念和性质1、定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，则称矩阵是可逆的，是的逆矩阵.并把矩阵称为的逆矩阵.若设和是可逆矩阵，则有所以的逆矩阵是唯一的,即说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.证明于是例1设,求的逆.解设则证明，使得两边求行列式，有定理1若矩阵可逆，则若矩阵可逆，则即有定理2矩阵可逆的充要条件是，且其中为矩阵

3、的伴随矩阵.证明因为矩阵与其伴随矩阵有，故有又因为所以，按逆矩阵的定义，即有当时，称为奇异矩阵；证明推论若或，则当时，称为非奇异矩阵.2、奇异矩阵与非奇异矩阵易知于是只证时，3、运算规律（设均是阶可逆方阵）1）若且证明由推论，即有2）若且且3）若，且同阶，推广证明4）若且5）若6）若证明且证明而因为所以为整数）（其中7）其它的一些公式8）一些规定三、应用例2求下列矩阵的逆，其中解1）依对角矩阵的性质知：依矩阵的逆的定义，必有易知：解2）即计算其中例３的行列式.解例４求解设且满足有而设求例5其中为矩阵的伴随矩

4、阵.解例6解矩阵方程解设例7证明方法三方法一方法二所以可逆.由，得例8可逆，并求它们的逆矩阵.由设方阵满足方程，证明证明所以可逆.由Ax=b，利用逆矩阵求解线性方程组.例9设A为n阶可逆矩阵，求解线性方程组Ax=b的解.两端左乘则思考1.证明：若A为n阶方阵，则A=0AAT=0或ATA=0提示：观察AAT的主对角线元素2.若A为n(>2)阶非零实方阵，A*=AT证明：①A可逆②

5、A

6、=±1,n=2k③

7、A

8、=1,n=2k+1提示：利用2的结果，且根据条件可得

9、A*

10、=

11、AT

12、=

13、A

14、

15、A

16、n-1=

17、A

18、,

19、讨论n即可逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在五、小结定义法初等变换法（后面介绍）