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《导数和微分的公式和法则,隐函数求导-复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4基本初等函数的导数公式表(要求每一个公式,都能自己推导出来).12.4基本初等函数的导数公式表(要求每一个公式,都能自己推导出来).2第二节求导的基本法则给定一个函数,如何求导?当函数比较复杂时,用定义计算导数就相当困难.本节给出一些基本的求导法则:有理运算法则,复合函数和反函数求导法则,并在此基础上,给出隐函数和参数方程求导法则,从而使导数的计算系统化、简单化．3Th2.1（导数的有理运算法则）设在点处均可导，则它们的和差积商在x点也可导，且2.1函数和、差、积、商的求导法则4或则复合函数Th2.2(链式法则)或2.2复合函数的求导法则5二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(
2、C为常数)分别可微,的微分为一阶微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数62.6、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:利用链式法则,两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)7例2.13幂指函数的导数82.5高阶导数我们知道速度函数v(t)是位移函数s(t)的导数,v(t)=s´(t)．而加速度a(t)是速度v(t)的导数,a(t)=v´(t),定义2.1设函数f:I→R可导．如果它的导函数处可导,则称f在x处二阶可导.处f在I上n阶可导,f(n)称为f在I上的n
3、阶导函数,的导数称为f在x处的二阶导数,记作f"(x)=(f´)´(x).若f在I上y=f(x)的n阶导数简记为y(n)或叫作s(t)对t的二阶导数．记作a(t)=s"(t)．故a(t)=v´(t)=[s´(t)]´,处处二阶可导,则称f在I上二阶可导,f"称为f在I上的二阶导函数.一般地,若f的n-1阶导函数f(n-1):I→R在x∈I可导,则称f在x处n阶可导,f(n-1)在x处的导数称为f在x处的n阶导数,记作f(n)(x)=(f(n-1))´(x).若f在I上处处n阶可导,则称简称n阶导数.9二阶导数与高阶导数10例2.14证明下列函数的n阶导数公式11定理2.4设函数u,v都是n阶可
4、导的，则与uv也是n阶可导的，而且有：(1)线性性质：(2)Leibniz公式：12例2.11证明例2.12设13基本初等函数的导数公式14求导法则1。和差积商的求导法则；2。复合函数的链导法则；3。反函数的求导法则；常用公式前面的导数表，十几个导数公式。15的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,16微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记17例如,基本初等函数的微分公式(见P116表)又如,18例1.求解:19例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.在下列括
5、号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意数学中的反问题往往出现多值性.注意:20三、高阶微分定义.若函数在I上一阶可导。其微分若函数在I上二阶可导,则可再求微分，得在I上的二阶微分,称它为或记作通常把记作，则有仍是的函数。在I上此时称在I上二阶可微。dy对！dy错dx为常量，不变21类似地,可以定义三阶微分,四阶微分等等。一般地则定义其在I上的n阶微分为：如果函数n阶可导,此时称在I上n阶可微。注意：高阶微分没有微分形式不变性。而函数的微分称为f的一阶微分,二阶或二阶以上的微分统称为高阶微分，22四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:
6、23特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得24的近似值.解:设取则例4.求25的近似值.解:例5.计算26例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,272.285.设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设且则291.已知求解：因为所以备用题30已知求解:方程两边求微分,得2.习题课31第二节(2)一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率隐函数和参数方程求导相关变化率第二章322.6、隐函数的导数若由方程可确定
7、y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:利用链式法则,两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)33例2.16求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数34解:y是x的函数,方程两边对x求导得解得例2.17求由方程确定的隐函数在处的二阶导数。将x=0代入所给方程可
