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《第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则§3.3导数的基本公式与运算法则第三章1.基本初等函数的导数一、导数的四则运算法则定理1如果函数u=u(x)及v=v(x)均在点x可导，则函数u=u(x)及v=v(x)的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导，且（c为常数），下面证明（2）证:设则有故结论成立.注意:公式(1)，(2)可以推广到有限个的情形.如例1.解:证:类似可证:例2.求证（八）复合函数求导法则在点x可导,定理在点可导，则复合函数而且在点x可导,课本118页例6求函数
2、的导数.解：设则由复合函数求导法则解：设由复合函数求导法则课本118页例7求函数的导数.推广：复合函数法则可推广到多个中间变量的情形.例如,关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导.解:补充例题.求下列导数:解:(1)(2)解:练习:设思考:若存在，如何求的导数?这两个记号含义不同例设解:课本习题选讲21题（139页）（8）解（21）解定理2.在y的某邻域内单调可导,证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此（九）反函数的求导法则解:1)设则类似可求得利用则（十）反三角函数及指数函数的导数2)设则特别当时,（十一
3、）隐函数导数第三章若由方程可确定y是x的函数，则称此函数y为隐函数.由表示的函数，称为显函数.隐函数求导方法:确定y是x的函数并且可导，设方程F(x,y)=0利用复合函数求导公式可以求出隐函数y对x的导数.具体求法：含有导数解含导数的方程得遇到y时利用对方程两边关于x求导，复合函数求导公式，先对y求导，再对x求导，得到的方程，注：隐函数求导的结果中可以含有y.例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即的导数.解:两边取
4、对数，化为隐函数形式（取对数法）例3.求两边对x求导即（十六）综合杂例例26确定y是x的函数，求解：于是得解在处根据§3.2例9的结果有：不存在，例27从而有由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.课本128页例28已知函数f(u)可导，求其中a为常数.解：例29求导解2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对x求导二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念第三章§3.4高阶导数速度即加速度即引例：变速直线运动一、高阶导数的概念定义若函数的导数可导，则称或即或的二阶导数,记作的导数为类似地,二阶导数的导数称为
5、三阶导数,(n-1)阶导数的导数称为n阶导数,依次类推,分别记作或二阶导数以及二阶导数以上的导数称为高阶导数,解:求例1设依次类推,可得解:例2设求例3设求解:一般地,类似可证:二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用一、微分的概念3.5函数的微分第三章引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其一、微分的概念的微分,定义3.3若函数在点的增量可表示为(A为不
6、依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且“充分性”已知即在点的可导,则说明:时,当所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,故当微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式的不变性.5.复合函数的微分则复合函数二、微分运算法则若参数方程可确定一个y与x之间的可导,且则时，有时,有(此时看成x是y的函数)函数关系,（十四）由参数方程确定的函数
7、的导数例1.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得2.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再对x求导,得②当时,故由①得再代入②得求①（八）复合函数求导法则在点x可导,定理在点可导，则复合函数而且在点x可导,证:在点u可导,故（当时)故有所以，第三章课本习题选讲求导数1习题29（2）2习题29（3）解解3习题29（4）解4习题29（5）解32设，其中为a常数，求解当x=a时，所以函数在点x=a不可导.课本34设在点x=1处可导，求a,b的
8、值.解由于函数在x=1连续，所以又由于函数在点x=1处可导，所以课本36设函数在点x=a处可导，证明：证明：求提示:分别用对数微分法求答案:补例1设补例2.求解:补例3设解:求补例4求解:关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导.补例5设解:补例6设其中在因故正确解法:时,下列
