15可测集与可测函数(讲义)

《15可测集与可测函数(讲义)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、1.5可测集与可测函数1.5.1可测集与可测函数定义1.5.1设X是基木空间，R是X上的代数，且X=(JE,EeR则称(X,R)是可测空间(measurablespace),R中的元素E是(X,7?)上的可测集(measurableset)。特别地，当X=RR=L时，称(R',L)是Lebsgue可测空间；Lebsgue可测空间上的可测集称为Lebsgue可测集；当X=R*,R=S(R.)=B时，称(R[B)是Borel可测空间；Borel可测空间上的可测集(即：Borel集)称为Borel可测集.注定义可测空间、可测集时，严格

2、地说，并不要求在b-代数R上己经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念木质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。定义1.5.2设(X,/?)是可测空间，EuX,f是定义在E上的有限实函数。若对一•切实数C,集E(c

3、可测函数。定理1・5・1设(X,/?)是可测空间，/是定义在EuX上的有限实函数。则/是E上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数C,(1,集E(c

4、数。证对任意实数c,由/'的连续性，集E(c

5、JS，bi)i=称为阶梯函数，它是E上的Lebsguen；测函数。证因为对任意实数E(c

6、ebsgue可测集，所以/是(-00,00)上的可测函数。00例1.5.3设(X,!?)是可测空间，E,EjWR,Z=l,2,•••,/?,U&uE,口/=1EfEj=0,&j.于是定义在£上的函数，且%心0,xwEj(i=l,2,・・•,〃),xeX-JE^/=i则/是E上的可测函数。例1・5・4(不可测函数的例)(R

7、,L)是LebsguenJ测空间，Z是Lebsgue不可测集，于(尢)是Z的特征函数%7(x),xgR1.因为R什杆力z)={x

8、/z(兀)纣,兀wR*=Z是Lebsgue不可测集，所以函数ZzM不是口上的Le

9、bsgue可测函数。例1.5.5也有这样的可测空间(X,R),定义在X上的所有函数都是可测函数。例如，取R=2X(此时R是一个-代数)，/是定义在X上的任意一个有限实函数,对任意实数C,显然X(c

10、UE口J测，当/作为厶上的函数时，于是厶上的可测函数；(3)设E}^E2=0,

11、E^E2=E,若耳,色是可测集，则/是E上的可测函数的充分必要条件是：f是£2±的可测函数。(4)集E是可测集的充分必要条件是：集E的特征函数XE(x)是X上可测函数。证(1)因为00e=

12、Je(-h

13、的可测函数。(3)设于是E上的可测函数，由⑵知:f是耳，禺上的可测函数。反之，若/是d，耳上的可测函数，对任意实数c,由于E(c