可测集及其性质

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1、第9讲可测集及其性质目的：熟练掌握可测集的性质，学会采用类比的方法归纳出这些性质。重点与难点：可测集的性质，可测集序列的极限之可测性。一.可测集的性质问题1：回忆Riemann积分的性质，通过类比的方法，我们可以得到可测集应具有哪些性质？第9讲可测集及其性质定理1（i）设，则可测当且仅当可测；（ii）如果，则可测；（iii）与都可测。证明：若可测，则对任意，，若令，第9讲可测集及其性质则，于是故也可测，反之亦然，（i）证毕。若，则对任意，。于是由及第9讲可测集及其性质知。由（i）、（ii）立得（iii）。证毕。定理2

2、若都可测，则,,都可测。证明：由定理1与DeMorgan公式及等式，只需证明是可测集，即要证明对任意，有第9讲可测集及其性质我们可以通过将分解成互不相交四块，即显然，故由的可测性知同理由，得第9讲可测集及其性质注意到，且，所以第9讲可测集及其性质从而即可测。证毕。第9讲可测集及其性质推论如果是可测集，则也可测集，且当所有互不相交时，有证明：由定理2及归纳法立知可测。下设互不相交，记，则，于是，第9讲可测集及其性质（在（2）式中，令）。类似地故。证毕。第9讲可测集及其性质*定理3若都是可测集，则也是可测集，且当所有互不

3、相交时，有证明：由于、互不相交，且当每个都可测时，第9讲可测集及其性质也可测。所以只需就互不相交情形证之。假如是任意集合，往证注意对任意正整数，有第9讲可测集及其性质由于与都可测，且互不相交，故由知由归纳法知第9讲可测集及其性质从而令，得所以是可测集。第9讲可测集及其性质在不等式（3）中取，则得即。证毕。第9讲可测集及其性质定理3告诉我们，可测集合的确是完全可加的。由此可见，例1中构造的集合是中的一个不可测集合，否则每个都将可测，而，故应有，而这正是导致矛盾的关键。第9讲可测集及其性质推论如果都是可测集，则也可测。证

4、明：由于，由定理1知每个可测，由定理3知可测，再由定理1知可测。证毕。第9讲可测集及其性质从定理1、2及其推论可以看到，可测集关于集合的“并”、“并”、“余”运算是封闭的，从定理3及其推论可以看到，可测集对于可数“交”、“并”运算也是封闭的。因此，如果将中的所有可测子集放在一起就构成的一个子集簇，这个子集簇是一个域。回忆第一章中关于域的定义，那里是对一般集合的子集簇而言的，所以，如果我们在的一个域上定义了某种非负函数，也就是说，的定义域为，使得适合前面所讲的测度的基本第9讲可测集及其性质性质，则可以将看作一般集合上的

5、测度。这样，对一般抽象集合，也可以引进测度的概念。换句话说，我们可以将中Lebesgue测度的基本性质作为公理来定义一般集合上的测度。这正是抽象测度论的出发点。应该看到，从到一般集合的测度推广绝非一般的平行推广，这种推广既有其重大的理论价值，又有其应用价值，比如，我们所学过的概念论中的概率，就是定义的随机事件组居的空间上的测度，通常称之为概率测度。第9讲可测集及其性质可以这么说，测度论的产生为概率奠定了竖实的数学基础。又如，按中的Lebesgue测度，是无法区别内的两个零测度集的。但这些集合在分形几何及动力系统以及其

6、它一些学科中是十分重要的。于是出现所谓的分数维数（Hausdorff维数）概念。它其它就是由一类特殊测度定义的，这类测度通常称为Hausdorff测度。用这种测度可以区分不同的Lebesgue零测集，并确定其维数。我们将在本书的最后介绍一般测度论的基本知识。第9讲可测集及其性质二.单调可测集列的极限之可测性问题2：单调递增可测集列的极限之测度是否必等于该集列测度之极限？问题3：单调递减可测集列的极限之测度是否必等于该集列测度之极限？第9讲可测集及其性质定理4设是单调递增的可测集列。则可测，且证明：由于单调递增，故，由

7、定理3知可测。若，则，等式显然成立。故不妨设，第9讲可测集及其性质从而对。令则互不相交，且，于是由的可测性知每个都可测，由定理3得第9讲可测集及其性质注意与不交，且，故从而所以从而第9讲可测集及其性质证毕。*定理5假设是单调递减的可测集合，则可测，若存在，使，则有第9讲可测集及其性质证明：由是单调递减的知，故定理3的推论知可测。令则是单调递增的可测集，由定理4知可测，且第9讲可测集及其性质注意到及所以从而进一步。证毕。第9讲可测集及其性质*定理6假设是可测集列，若存在，则极限集也可测；若有，使，则第9讲可测集及其性质

8、证明：由于，故由定理3及其推论易知与都可测，所以若存在，则必可测。记则单调下降，由定理的条件知，当时，，于是由定理5知第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质又，所以。另一方面，若令，则是的可测集列，于是由定理4知但，故第9讲可测集及其性质从而由立得定理得证明。证毕。作业：P535，7，8