中考数学压轴题解题策略(2)相似三角形的存在性问题

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1、中考数学压轴题解题策略（2）相似三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题•中考数学》的作者上海马学斌专题攻略相似三角形的判定定理冇3个，其中判定定理1和判定定理2都冇对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一纽对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步:寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4.应川判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6.应用判定定理3解题不多见，如例题5,根据三边对应成比例列连比式解方程（组）

2、•例题解析例如图1・1,抛物线y=-x2--x+4与兀轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y82'轴交于点C.动肓线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交轴、线段BC于£、F两点，动点P同时从点B出发，在线段0B±以每秒2个单位的速度向原点0运动.是否存在/，使得与AABC相似.若存在，试求出/的值；若不存在，请说明理由.【解析】△BPF与AABC有公共角ZB,那么我们梳理两个三角形中夹ZB的两条边.17AABC是确定的.由〉，=丄兀2一2兀+4，可得4（4,0）、3（8,

3、0）、C（0,4）.'82于是得到BA=4,BC=4y/5.还可得到—=—=1.EFOB2/BPF中，BP=2t,那么的长用含r的式子表示出來，问题就解决了.在RtAEFC中，CE=f,EF=2l,所以CF=品.因lltBF=4^5-75/=V5(4-r).①当ba=bp_吋,BCBF于是根据两边对应成比例，分两种悄况列方程:二==—.解得/=纟(如图1・2).4V575(4-/)3②当鈴总=響•解得2半（如图®例如图2-1,在平面直介J坐标系中，顶点为M的抛物线歹=ax2+bx（«>0）经过点4和x轴正半轴上的

4、点3,A0=B0=2f乙403=120°.（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM,求ZAOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且AABC与△AOM相似,求点C的坐标.图2-1【解析】'ABC与AAOM中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入.第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求ZAOM的人小作铺垫；求得了ZAOM的人小，第（3）题暗示了要在/XABC寻找与ZAOM相等的角.（1）如图2・2,过点A作AH丄y轴，垂足为H.容易得到A（-1,V3）.再由A（-1,73）.B（2,0）两

5、点，可求得抛物线的解析式为y去*一芈x・（2）由尸学_琴“和步冲,得顶点必所以tanZBOM=—.所以ZBOM=30°.所以ZAOM=50°.3(3)由人(-皿)、B(2,0),可得ZABO=30Q.因此当点C在点B右侧时，ZABC=ZAOM=150°.所以^ABC^j^AOM相似，存在两种情况：①当等於血=2.此时C(4,0)(如图2-3).②当竺=-^-=V3时，BC=73^4=73x2^3=6.此时C(8,0)(如图2-4).例如图3-1,抛物线y=ax2+bx~3与x轴交于人(1,0)、B(3,0)两点，

6、与y轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN丄x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】4AMN是肓角三角形，因此必须先证明厶〃。/)是直角三角形.一般情况下,根据肓角边对应成比例分两种悄况列方程.(1)抛物线的解析式为_y=-/+4x-3・(2)由y=-x2+4.x-3=-(x-2)2+1,得7)(0,—3),C(2,1).如图3・2,山3(3,0)、D(0,—3)、C(2,1),可知ZC

7、BO=45°,ZDBO=45所以ZCBD=90°,且BCV21设点M、W的横处标为x,那么而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当“在A右侧时，NA=x~,分两种情况列方程:=3・解得x=—・此时A/(—,-—)(如图3-3).(x-l)(x-3)339②当需时,V—11=-.解得x=6.此吋M(6,—15)(如图3-5).(x—1)(兀—3)3当N在A左侧时，NA=—x,也要分两种情况列方程:①当需=罟=刑占匕T?•解得⑴九不符合题意“如图皿②当NAAWl-x_1(X—1)(兀—

8、3)3解得x=0,此时M(0,—3)(如图3-6).P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F,如果zMCP与△BPF相似，求直线CP的解析式.【解析】首先求得点C(3,0).AACP与ABPF中，相等的角在哪里啊？①如图4・2,当点P在线段AB上吋，5ACP与5BPF中，ZAPC^ZBPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是饨角，两个三介形怎么可能相似