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《中考数学压轴题解题策略五：相似三角形的存在性问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、中考数学压轴题解题策略相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例❶如图1-1，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C
2、开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．图1-1【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．△ABC是确定的．由，可得A(4,0)、B(8,0)、C(0,4)．于是得到BA＝4，BC＝．还可得到．△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了．在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以．因此．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：①当
3、时，．解得（如图1-2）．-7-②当时，．解得（如图1-3）．图1-2图1-3例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图2-1【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角．（1
4、）如图2-2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到A．再由A、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为．（2）由，得顶点M．所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．图2-2（3）由A、B(2,0)，可得∠ABO＝30°．-7-因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①当时，．此时C(4,0)（如图2-3）．②当时，．此时C(8,0)（如图2-4）．图2-3图2-4例❸如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物
5、线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．图3-1【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2,1)．如图3-2，由B(3,0)、D(0,－3)、C(2,1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．所以∠CBD＝90°，且．图3-2图3-3图3-4-7-设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N
6、在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程：①当时，．解得．此时M（如图3-3）．②当时，．解得x＝6．此时M(6,－15)（如图3-5）．当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程：①当时，．解得＞1，不符合题意（如图3-4）．②当时，．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）．图3-5图3-6例❹如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．图4-1【解析】首先求得点C(3,0)．△
7、ACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？①如图4-2，当点P在线段AB上时，△ACP与△BPF中，∠APC与∠BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的．可以求得F(0,－4)，于是直线CF(CP)为．②如图4-3，当点P在AB的延长线上时，△ACP与△BPF有公共角∠P．于是∠OFC＝∠PFB＝∠A，可以求得F(0,4)，因此直线CF(CP)为．③如图4-4，当点P在BA
