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1、二次函数一、知识点梳理1・定义：一般地，如果y=or2+bx+c(d,b,c是常数，d工0),那么y叫做兀的二次函数.2.二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.二次函数y-ax2+bx+c（a,b,c是常'数，a0）a<0a>0(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；(2)对称轴是x=-—,顶点处标是(-匕，2a2。^ac-b2);4a(3)在对称轴的左侧，即当x<-—时，y2a随x的增人而减小；在对称轴的右侧，即当x>-—时，y随x的增大而增大2a抛物线有最低点，当时，y有2a(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸；bb(2)
2、对称轴是x=-—,顶点处标是,2a2a^ac-b2)；4ab(3)在对称轴的左侧，即当XV—丄时，y2a随x的增人而增人；在对称轴的右侧，即当x>-—时，y随x的增大而减小2a(4)抛物线有最高点，当x=-—lit,y有2a最小值,歹最小值4ac-b2""4a最人值,4ac-b2""4a2.用待定系数法求二次函数的解析式(1)-般式：y=ax2-vbx^c.已知图像上三点或三对兀、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y=a（x-h）2^-k.L1知图像的顶点或对称轴以及最值，通常'选择顶点式.求抛物线的顶点、对称轴的方法:(122fb=ax^+bx+c=a
3、x+—l2a丿4ac-员4ah4ac—b?、b・••顶点是（一茲‘十）’对称轴是直线―厉（3）交点式：已知图像与兀轴的交点坐标兀］、£，通常选用交点式：y=0（兀一州）（兀一兀2）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+hx^c与x轴两交点为A（»0）,B（兀2,0）,由于兀I、兀2是方程必2+b兀+c=0的两个根,故hcX]+兀？=，兀1•兀=—aaABx}-x2Z?Y4cyjh2-AacVaa4•抛物线y=ax2+Z?x+c中，a.h.c的作用（1）Q决定开口方向及开口大小:Q>0,开口向上；dvO,开口向下：G越大，开口越小（2）〃和a决定
4、抛物线对称轴（左同右异）①Z?=O时，对称轴为y轴；b②一>0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧;a③-<0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.a（3）c决定抛物线与），轴交点的位置.①c=0,抛物线经过原点；②c>O,-Uy轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.（4）△=/??-4"决定抛物线与兀轴的交点个数①ZkAO,有2个交点②△=（）,有1个交点；③AyO,无交点二、例题解析例1已知：二次函数为y=x2例3已知关于x的二次函数y=x2~mx+Zn与y=x2—mx—m,这两个二次函数的图像屮的一条与X轴交于A,B两个不同的点.(1)试判断哪个二次
5、函数的图像经过A,B两点；(2)若A点处标为(一1,0),试求B点朋标；(3)在(2)的条件下，对于经过A,B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？-x+m(1)写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；(2)m为何值时，顶点在x轴上方(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB〃x轴交抛物线于另一点B,当SaAob=4时，求此二次函数的解析式.例2如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+3(a>0)交x轴A,B两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(一1,0)(1)求抛物线的対称轴及点A的坐标；(2)过点C作x轴的平行线交抛
6、物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；课堂习题2•已知二次函数y=3A2-12%+13,则函数值y的最小值是（）A.3B.2C・1I）.—13.二次函数y二（x-1）（x+2）的顶点为,对称轴为。4.y二ax2+bx+c图象与x轴交于A、B与y轴交于C,0A二2,0B二1,0C二1,求函数解析式5.已知二次函数图象与x轴交点（2,0）（-1,0）与y轴交点是（0,-1）求解析式及顶点坐标。7、二次函数的图象顶点坐标为（2,1）,形状开口与抛物线y=-2x2相同，这个函数解析式为o一、填空题1.右图是二次函数yi=ax2+bx+
7、c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2$yi时，x的取值范围.3.已知二次函数y=-x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m,0），则m的值为.2.若二次函数y=x2—4x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1,2）与（一1,4）,贝ija+c的值是二次函数y=x2-2x-3与x轴两交点之间的距离为・杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（冗/n?）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=l,2,3,4,5,6,7,8）,已知点（x,y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格
8、为元/□?.9.二次函数y=ax2+b
