大连市历年高等数学竞赛题

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1、11.(10分)求——jjj111x19941994x39873987X59802.(10分)设函数f(x)在闭区间［0,1］上可微，且满足f(l)-2『对(无)=0,求证在(O,I)内至少存在一点使得『(纟戶一丿字。3.(10分)设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(l)=0,且牛型右{/(兀)}=2证明：Min{fx)}<-16「X2/—14.(10分)求函f(x)=“力在［0,2］上的最大值与最小值。"厂一f+15.(10分)设函数f(x)在区间(0,1)上可微，且OVf'(x)Wl,f(0)=0证明(J

2、(；/(x)d兀A>£/2(x)6/x十十2―>100—100)，求f‘(1)o加1加加6.(10分)已知f(t)=(tg——1)(tg——2)••-(tg——444ooXn+2oo］7.(10分)试求工的和函数，并计算工信(〃+1)⑺+2)仁4(n+1)(h+2)2〃8.(10分)一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下io米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.(10分)设f(x)=aisin(x)+a2sin2x+...+ansinnx,且

3、f(x)

4、WIsinxI求证：

5、ai

6、+a2+...+an

7、W110.(10分)设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、设x=g(y)为y二f(x)的反函数，求g"'(y)(用广(兀)、f'(无)、f'(兀)表刀寸。2^设f(x)在(+oo,—oo)上有连续导函数，求严如2如仝3心)_］呛2其中L是从点A(3,一)到点B(l,2)的直线段。33、设f(x)在他b］上具有二阶连续导数，求证在(a,b)内存在使得"f(X)dx=(b-a)f(年2)+£(b-a

8、)‘广'(§)。4、设f(x)二吨+%)(兀〉0)定义a(x)=f(t)dt

9、/!，(X)

10、

11、^1,试证:广(劝IW*在［0,1］上成立。9、设a、b、c为实常数，函数f(x)=ax2+bx+c,当

12、x

13、W1时满足丨f(x)丨W1,试证:当

14、x

15、W1时有If'(X)IW4。10、求由处标平面与椭球面9?a2b2c2=1的一个切平面所界的最小体积。大连市第五届大学生高等数学竞赛试题(理工类本科)一、设z=x+y+/(兀一y),当y=0时，z=F,求函数/及z.二、知/⑴在兀=6的邻域内为可导函数，且lim/(x)=O,lim/©)=1995,求极限xt6x—>6dtlimxt6(6-x)3Jxf(x)dx三、设F(x

16、)=-~~;—，兀工0其中/(兀)具有连续导数且/(0)=0,Xc.x-0(1)试确定c使尸(兀)连续；(2)在1的结果下问是否连续(要求过程),x>09四、设/(X)=求£/(X-lW<01+/五、级数占“2+挣4+点/+…+占0+…的收敛并求其和.—小3六、设AB为连接A(0,0),B(l,l)的某一曲线弧，且AB与直线段AB所包围的图形面积为一,2而与Ab除人〃外无其它交点，自身也不相交，计算曲线积分J(“siny-my)dx+(Hcosy-m)dy,AB七、计算曲面积分JJ2(1-x2)dydz+Sxydzdjc

17、一^xzdxdy,Z是曲线x=^v(0为一非负的增函数，证明伙)sjf(x)dx<^f(k)(1)tc=1k=2丄当f(x)=lnx时，证明不等式e-nH-e~n

18、sinx(l+sinx)(2+sinx)(1996+sinx),求/Z(O)护+厂一20分）求lim—$——XTO兀20分）设f（x）的原函数为里严，求不定积分Jxfx）dx0分）讨论a取何值，使及方程x3-3^v+2=0有一二三个实根xsinx五（10分）设/（兀）连续，求证£x/'（sinx）tZ