大学 高等数学 历年考题.doc

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1、一。偏导数的几何应用1.[2012]求曲面在点处的切平面和法线方程解令，则从而切点的法向量为从而切平面为法线方程为3、[07]曲线在点的切线方程为.4.[07]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上因此切平面为5.[2006]已知直线和平面则（B）A、在内B、与平行，但不在内C、与垂直D、不与垂直，不与平行6.[2006]曲面在点处的法线方程是7.[2006]（化工类做）已知直线和，证明：-36-，并求由所确定的平面方程。证明：直线上任取两点，则是的方

2、向向量；的一个方向向量为，因为，所以设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以所求方程为二。多元函数1.【2012】设，则02.【2012】设,则3.【2012】函数在点处沿指向点方向的方向导数4.【2012】证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数解因为与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。又，或-36-，或于是函数在点存在有一阶偏导数。5.【2012】设,求解令，则，于是用公式得6.[2012]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。解设点为，则等价于求在约束之下的最小值。令且由解得驻点，最短距离为（令-36

3、-计算起来更加方便，舍去驻点，）7.[2011]8.[2011]9.【2011】设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数.10.【2011】求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向的值不变？11.【2011】求函数的极值.-36-12.[2010]13.[2010]14.[2010]15.[2010]16.[2009]17.[2009]-36-18.[2009]设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。解：19.[2009]求函数在圆域的最大值和最小值。解：方法一：当时，找驻点，得唯一驻点当时

4、，是条件极值，考虑函数，解方程组可得所求最大值为，最小值为。方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。20.[2009]（化工类做）求由方程组所确定的及的导数及。21.[2009]（化工类做）求二元函数在点处沿方向-36-的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？22、[2008]函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）23、[2008]设有连续偏导数，则24

5、、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令，则从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。显然时成立，故切平面均过。证毕25、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数解：方程组两端对求导，得把代入得，解得，于是在点处的切向量为-36-，单位切向量为所求方向导数为26、[2008]设，求解：两边取微分，得从而，27、[2008]设，则它有极小值28、[2008]设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。解：令则

6、，从而再由即约束条件，可得，从而由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。29、[2007]设，则-36-30、[2007]已知，则031、[2007]函数在点处沿从点到点方向的方向导数是32、[2007]设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：33、[2007]（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续解：由定义同理由于从而函数在原点处可微。当由于不存在，因此在点-36-处由于不存在而不连续。34、[2007]（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，求解：对方程两边取微分得即35、[2007]求在约束条件下的最

7、大值和最小值解：令则由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为36.[2006]若在点处可微，则下列结论错误的是（B）A、在点处连续B、在点处连续C、在点处存在D、曲面在点处有切平面37.[2006]二重极限值为（D）A、0B、1C、D、不存在-36-38.[2006]，则39.[2006]函数在点沿方向的方向导数为40.[2006]设函数证明：1）在点处偏导数存在2）在点处不可微证明：1）因为所以在点处偏导数存在2）因为当取时随之不同极限值也不同，即所以此函数在处不可微。41.[2006]设，具有连续二阶偏导数，求解：，-36-42.

8、[2006]在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。解：设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为化成截距式方程此切平面与坐标面围成四面体的体积为