高等数学竞赛题

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1、高等数学竞赛练习题1、设,满足:证明:收敛,并求分析:用数列通项表示的这种类型题目,往往要用单调有界必有极限这个定理来解决,因此先要用不等式技术证明单调且有界。证明:(1)证明:易见,则,从而有:,故单调减少,且有下界。所以收敛。(2)设,在两边同时取极限得解之得,即。2、设在的邻域具有二阶导数,且,试求,及.分析:这种类型的题目,先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零,得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。解由得,因为分母极限为零,从而分子极限为零,即,可以得到,同样,我们有,由导数

2、的定义得。因为在的邻域具有二阶导数,由泰勒公式得)两边取极限得,故。3、设,且在满足:,有(为常数)。证明:(1)在有界。(2)在上一致连续。分析:利用已知条件,通过不等式放大证明有界,再用一致连续的概念和常用的分析方法可以证明函数的一致连续。证明:(1)由条件知,,有,则,从而,故在有界。(2),则,,取,则,当时,有,故在上一致连续。4、设函数且f¢¢(0)存在,试确定常数a,b,c.分析:这是一个分段函数,分段函数在分段点的导数要用定义求。解:由条件可知函数在处连续,故。由条件可知在处连续,且,故。因此从而,故,则

3、。5、设在上二阶可导,求证:使.分析:洛尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容,往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点。平时练习时,采用多种方法去解决,能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。证1令则由洛尔定理知,,由洛尔定理知证2令由拉格朗日定理知由洛尔定理知证3在展开为一阶泰勒公式因故证4令,用两次洛尔定理。证5令,用一次洛尔定理。6、设f在上可微,且a与b同号,证明:存在,使(1);(2).证:(1)令,显然在上满足Cauchy中值定理的条件,所以,即.(2)令,显然在上满足Ca

4、uchy中值定理的条件,所以,即7、设二阶可微,,证明:存在,使.证明:令,则。显然在上满足Rolle定理的条件,从而,使.又,于是在上满足Rolle定理的条件,故,使,即存在,使.8、设是定义在上的函数,.且证明:在上可导,且.分析:由于已知条件:是一个很广的条件,要充分利用它;另外要用导数的定义。证明:由已知条件得.因为。所以在上可导,且.9、设,且,证明:.分析:从结论可以看出,绝对值里面刚好是,因此容易想到先求的导数。再用导数的定义。证明:因为,所以又,所以.即。10、设f在上二阶可微,,,则方程在内至少有一个根

5、.分析;方程在一个区间有根的问题往往要用零点存在定理去判断,因此验证该方程在两端点值的符号是解决问题的关键。证明:因为,不妨设,因,故,使,从而,使。因,故,使,从而,使得。又因在上可微,所以在上连续,由零点存在定理知,,使.于是在及上分别利用Rolle定理得,存在,使得..再在上用Rolle定理得,,使.即方程在内至少有一个根.11、(浙江师范大学2004)设在上具有二阶导数,且满足条件,,其中都是非负常数,是内的任一点,证明。分析:如果函数高阶可导,并给定了函数的导数或函数的值,要求估计一个函数的界,往往要用Tayl

6、or展开式。证明:因在上具有二阶导数,故存在使得同理存在使得将上面的两个等式两边分别作差,得即因此而,故。12、设.证明:,使.证明:将在点处展开泰勒公式,得(在与之间)令得.令得.因为,所以.令,则,代入,得.13、设函数f具有一阶连续导数,存在,且,,(1)确定,使处处连续;(2)对以上所确定的,证明具有一阶连续导数.分析:分段函数的连续和导数,在分段点的导数一般用定义来求.解:(1)因为若处处连续,则在处连续.于是,且(2)因于是显然,当时,连续,当时,因为所以在处连续,故具有一阶连续导数.14、已知,,,…,,…

7、.求证:(1)数列收敛;(2)的极限值a是方程的唯一正根.分析:要直接判断数列收敛有困难时,可以先构造一个级数,判断级数的收敛。也可以先判断偶数项单调减少,奇数项单调增加,利用子序列相同的收敛性判断数列的收敛性。解一:(1),;又收敛,收敛,收敛,又因,故收敛。(2)令,,,且,,即是的根,令,,,,,故根唯一。解二:由已知,,…,…,由此可见,,(用归纳法证明偶数项单调减少,奇数项单调增加)。设,。,由知、收敛,令,;由,,知,。对两边取极限得,①对两边取极限得,②由①—②得,解得由知收敛,且为方程的根(再证唯一性)。

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