线性代数习题答案4

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1、习题四1．思路：往证以及，其中因为与列等价，所以必定成立．2．思路：往证．3．解法一：利用向量组线性表示的性质（P.83定理1至P.85定理3）(1)因为，且，所以．又，所以根据P.84定理2可知，能由线性表示．(2)因为，且，所以，从而不能由线性表示．解法二：利用向量组线性相关的性质（P.89定理5）(1)因为，所以线性无关，从而其部分组也线性无关．又，所以线性相关．根据P.89定理5结论(3)可知，能由线性表示．(2)反证法设能由线性表示．已经证明“能由线性表示”成立，故能由线性表示，这与矛盾，假设不成立，故不能由线性表示．9．解法一：，

2、得证．解法二：根据题意有，，简记为．，，于是，从而矩阵的列向量组线性相关．解法三：设有一组实数使得，即，(1)若线性相关，则可以不全为零，从而不全为零，于是线性相关．(2)若线性无关，则，即，因为，所以有非零解，从而线性相关．解法四：设有一组实数使得，即，显然，当，即时，上式肯定成立．因为，所以有非零解，从而线性相关．10．解法一：根据题意，有上三角形矩阵是可逆矩阵，又线性无关，故，线性无关．方法二：设，即已知线性无关，故，解得，从而线性无关．15．证明：必要性设是任一维向量，根据P.89定理5结论(2)可知，线性相关．若线性无关，则根据P.

3、89定理5结论(3)可知可由线性表示．充分性设任一维向量都可由线性表示．特别地，的列向量组也可由线性表示，那么．又，故，即线性无关．16．证明：方法一：因为，所以线性无关．第一步：考虑，若线性相关，则可由线性表示，即为所求．否则，转入下一步．第二步：考虑，若线性相关，则可由线性表示，即为所求．否则，转入下一步．……因为线性相关，所以此过程必在第步之前结束．若在第步结束（），则向量即为所求．方法二（反证法）：设不存在某个向量，使得能由线性表示．又设．不能由其前面个向量线性表示，则；不能由其前面个向量线性表示，则；……不能由其前面个向量线性表示，

4、则．于是．又，故，从而线性无关，矛盾，假设不成立，命题得证．17．证明：因为线性无关，所以，即是一个列满秩矩阵．又，根据P.70例9的结论，．于是线性无关．18．证明：显然向量组可以由线性表示．因为，记当时，，可逆，于是，即向量组也可以由线性表示，原题得证．19．解：(1)“存在3阶矩阵，使得”意味着矩阵的列向量组可以由矩阵的列向量组线性表示，矩阵就是这一线性表示的系数矩阵．因为，，显然所以矩阵．(2)解法一：因为线性无关，所以，从而矩阵可逆．又因为存在3阶矩阵，使得，所以，．解法二：因为，所以，即是齐次线性方程组的解．又因为线性无关，所以，

5、即是齐次线性方程组的非零解，于是，．21．解：如果能找到两个线性无关的解向量，则即为所求．于是可以得到一个与同解的方程组，令和为自由变量，解得．不妨令，则即为所求．注意：是否把矩阵化为行最简形矩阵并不影响方程组的求解．本题中，如果机械地把矩阵化为行最简形矩阵，会涉及不少分数运算，容易计算出错．另外，选取不同的变量充当自由变量，会得到不同通解．但是根据分析，方程组任意两个线性无关的解向量构成的矩阵都是满足题目要求的，故本题的答案应该不唯一。事实上，任取下列四个解向量中的两个都构成的基础解系：22．解：因为是4维向量，所以方程组有4个未知数，即系

6、数矩阵的列数等于4．另一方面，因为基础解系含2个线性无关的解向量，所以，方程的个数可以是任意个．考虑构造一个矩阵，且．解法一：因为，，所以，记，显然和线性无关，构成齐次线性方程组的一个基础解系，那么通解可表示为．容易看出：可令，做自由变量，那么，．于是取即是所求，对应的齐次方程组为．解法二：是的基础解系且，其中且的两个列向量是的两个线性无关的解，其中是矩阵的两个列向量是的基础解系（因为）基础解系为，于是，从而，对应的齐次方程组为．24．解：因为，所以，根据矩阵的秩的性质8有，．又，根据矩阵的秩的性质6有，．综上所述，．25．证明：(1)当时，

7、，从而（P.56第24题的结论），．(2)当时，，，，．又因为当时，中一定存在阶非零子式，故不是零矩阵，．(3)当时，中所有阶子式都等于零，故是零矩阵，．27．解：因为四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，所以对应的齐次线性方程组的基础解系只包含解一个向量，构造如下：，于是四元非齐次线性方程组的同解可表示为．28．思路：(1)(2)(3)29．解：三直线相交于一点（其中是为了保证这3条直线不平行）当且仅当线性方程组只有唯一解当且仅当当且仅当当且仅当向量组线性无关，线性相关．30．解：因为，所以，即是的解．因为矩阵中，线性无关，，所以，四元齐

8、次线性方程组的基础解系中只包含一个解向量．因为，所以一定有解，就是其中一个特解．综上所述，的通解是，其中是任意常数．31．证明：(1)方法一：设，那么．因为，所以，