线性代数-本科教材-第4章习题答案

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1、习题四（I类）1.求下列齐次线性方程组的通解.（1）2X(+5x2+2x3=0Xj+4x2+7兀3=0%)+3x2+3x3=02Xj-3x2-2x3+x4=0(3)3兀]+5x2+4兀§一2x4=08%!+7兀2+6x3-3x4=0兀]一8x2+10x3+2x4=0(2)v2x,+4x2+5x3一x4=03兀[+8x2+6x3-2x4=0(4)tvc{+(/?-l)x2+・・・+2兀1+£=01.求下罪齐次线性方程组通解.(1)2%j+3兀2+兀3+兀=1xx+2x2+2x4=5兀1++兀3+2x4=32x,-x2+3x3+8x4=8_3斗

2、+2x2-x3-9x4=-5Xj—2x3—3x4=—4x}+x2=5(3)<2X[+兀2+兀3+2兀=15x(+3xj+2x3+2x4=3X]—5x2+2x3-3x4=11(4)<5x,+3x2+6x3-x4=-12x,+4x2+2x3+x4=-6X]+x2+=222.讨论Q为何值时，非齐次线性方程组7+2兀2+禺=久Axt+兀2+X3=1（1）有唯一解；（2）有无穷多解;（3）无解.X]+ax2+x3=03.讨论d取何值时，方程组《xl+x2+x3=O有非零解？在有非零解时，求其通解.xt+x2+ax3=0Xj+2x3=-l4.对于线性方

3、程组-西+花-3禺=2，讨论入“为何值时方程组有无穷多解，并在有无穷多解时求其通解.6•讨论恥収何值时，方程组＜3召-吃-3心=2（1）有唯一解？（2）无解？（3）无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.(1+2)西+兀2+兀3=07.讨论2为何值时，方程组＜X]+(1+2)兀2+兀3=3X,+兀2+(1+2)兀=2(1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？并求出其通解.8.设〃为Ax=b的一个解，％,帀2,…，％为对应齐次线性方程组处=0的基础解系，证明％,力…,%,"线性无关.有解的充分必要条件是fq=0.在有解的情形，求出它/=1的一

4、般解.(2-213110'设心〔9-52J'求一个4X2矩阵B，使佃。，且心=2.11.求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为77,=(0,1,2,3/,=(3,2,1,0/.12・设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知％“2,“3是它的三个解向量・且％=(2,345)「，“2+7=(】23,4)「,求该方程组的通解・xl-x2+x3=0x2-x3+x4=013•设四元齐次线性方程组x+^=0I:P-,11:x2-x4=0求：(1)方程I与II的基础解系;(2)1与II的公共解.(I【类)1-设Ax=h是一非齐次线性方程组,7是其任

5、意2个解，则下列结论错误的是()A.%+帀2是处=0的一个解C.弘一％是Ar=0的一个解B.丄％+-7J2^Ax=b的一个解22D.2/-弘是=〃的一个解2.设A是mxn矩阵，At=0是非其次线性方程组Ax=b所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是()A.若Ax=O仅有零解，则Ax=b有惟一解；B.若Ax=O有非零解，则Ax=b有无穷多个解;C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解;D.若Ax=b有无穷多个解，则处=0有非零解.2.设％,帀2’…，久一‘是血=0的基础解系，则在下列向量纟H中也是基础解系的是()A.心-%，%一帀3，

6、…，％i-%B•7，%+“24+7+“3,…,7+“2+…+久・,C.弘+%，弘一弘，弘+3%，久，久，…，久“D.与弘,”2,…叽等价的向量组久硯,…，化3.设4为几阶矩阵，工为n维向量，则以下命题成立的是()A.若4兀=()有解时，屮/1兀=()也有解，则A必可逆B.若/fAr=O有解时，Ar=0也有解，则A必可逆C.屮Ar二0的解必是Ar=0的解D.ArAx=0的解与Ar=0的解无任何联系4.若r(A)=r

7、x3=05.已知齐次线性方程组<-可+(a-3)x2+肪兀3=0的解空间是二维的，则兀］+x2+ar3=0,b=7.线性代数方程组兀]+aAx2+4；心=aX]+a2x2+6/22x3=Xj+a^x2+afx3=X]+a4x2+a^x3=a]⑴若即如偽，4两两不等，问方程组是否有解,为什么？(2)a}=a3=b,a2=a4=-b(bHO),且己知方程的两个解$=(l,L-l)r,g,=(T丄1)丁试给出方程组的通解.8.设a=(a},a2,a3)T,fl=(brb2,b3)T,%=(c^c2,cy)1,af2+^2^0(/=1,2,3),

8、证明三直线厶：4兀+也〉，+q=0,l2：672x+Z?2y+c2=0,/3y+Qy+q=0,相交于一点的充分必要条件为：向量组线性无关，且向量组a、队％线性相关.9.设矩阵A=