线性代数-本科教材-第7章习题答案

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1、习题七(I类)1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间(1)二阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法kUa=a；(3)二阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；(4)与向量(1,1,0)不平行的全体三维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.2.设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U和V的维数相等，则U=V.3.在疋中求向量。=(0,0,0,1)在基吕=(1,1,0,1),£2=(2,1,3,1),£3=(1,1,0,0

2、),6=(0,1,-1,一1)下的坐标.4.证明1,兀-1,(兀-2)(兀-1)是尺国2的一组基，并求向量l+x+疋在该组基下的坐标5.给定疋的两组基§=(1,0,1)帀严(1,2,-1)U=(2丄())弓=(1，1，1)%=(2,2,-1)久-(2,-1,-1)定义线性变换A:Aei=7ji(匸1,2,3),(1)写出由基et,£2,£3到基羽,帀2,帀3的过渡矩阵;(2)写出在基殆5下的矩阵；(3)写出在基7皿，7下的矩阵.‘1-1(P6.在疋中，求基$=(1,0,0)',a2=(l丄0)',a3=(l

3、,l,l)7通过过渡矩阵A=01-1,001丿所得的新基久0朋3,并求a=-a,-2a2+5a3在基队小邛、下的表达式.7.判断下列变换是否为线性变换(1)在线性空间V中，定义其中a是V中任意向量，"是V中一个固定向量.(1)在F中定义兀2」3)=(屛，忌+尤3,斤)，其中任意awV,a=(xpx2,x3).1.全体二阶实矩阵构成实数域/?上的线性空间，取固定实数矩阵A=[a在V中2d)定义一个变换a(X)=AX-XAf其中X是V中任意向量.(1)证明是一个线性变换.(2)证明对任意x,rev，恒有o-(x

4、y)=

5、,=(1,0,0),£2=(0,1,0),£“=(0,0,1)下的矩阵©=(-1,0,-2)丁11・在疋中取两组基02=(0,1,2)7心=(1,2,5)'<7：6$)=(2,0,-1),er©)=(()，0,1)，6他)=(()丄2),求o•在基0「02，03下的矩阵.(II类)1.已知三维向量空间的一组基为$=(1,1,0)',隔=(1，0,1)：他=(0,1,1)',则向塑闵=(2,0,0)丁在这组基下的坐标为2线性变换卩在基咖下的矩阵为(：：S,则:T在基①，$下的矩阵为3.已知疋的线性变换T(a、

6、b、c)=(a+2b-c,b+c,a+b-2c),则TV的维数为基为.4.全体正实数的集合RJ加法和数乘定义为(1)d㊉b=ab,koa=ak,Vo,bwR*R;(2)a㊉b=a+b,k°a=akyfa,beR*,keR问疋是否构成R上的线性空间？为什么？3.疋灯的下列子集是否构成子空间？为什么？(1)W.1bR-K°c〃丿

7、/、(abo)

8、(2)W.=

9、核的维数和基<324、5.已知川玫的线性变换厂在基1,兀，”下的矩阵为人=202,求7的特征值与特B23丿征向量.6.函数集合V3=

10、a=(tz2x2+a}x+a^ex吆4，兔w/?}对于函数的线性运算构成3维线性空间，在匕中取一个基a.=xV,a2=xeay=ex,求微分运算D在这个基下的矩阵.答案(I类)1.(1)是(2)不是(3)不是(4)不是2.略3.(1,0,—1,0)4.(3,4,1)/33、33、33]-2-2-22222223333335.⑴1,(2)1,(3)12222221515151

11、1122丿<22丿<22；6.0产（1,0,0）〔02=（0，1，°）〔"产（0，°，1几。=2伤+3“2+5037.（1）当"H0时，不是线性变换；当"=0时，是线性变换。（2）不是线性变换<0-b-ca-db00、b&C0d-a—c<0c-b3.证明：因A(£^£2y...,En)=(A£}fAe29...,A£j=(e^e2....,£fi)A,故A可逆的充耍条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A£p