线性代数-本科教材-第5章习题答案

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1、习题五(I类)1.计算下列向量的内积(1)0=(2,5,1,3),«2=(10,1,5,10)(2)(1,0,1,0,1),a2=(1,1,0,0,1)2.把下列向量单位化(1)a=(0,1,1,0,1)(2)^=(1-1,2,4)3.己知向量$=(1,2,-1,1)「，闵=(2,3,1,-1)「，a.=(-l,-l,-2,2)r,试求与都正交的全部向量.4.已知a=(l,肚1)厂与0=(1,—2,1)厂正交，求£5.把下列向量组正交化.(1)0=(1,1,2,3)J隔=(-1,1,4,-1)『(2)a,=(l,0-l,l)z,

2、a2=(l,-l,0,l)r,=(-1,1,1,0)r6.判断下列矩阵是否是正交矩阵.‘1-1r<184、239991,1814(1)——1(2)2299911.447———1(32丿<999J7.设Y=CX为一正交变换，对任意,W^=CXP^=CX2.证明：(1)

3、^

4、=

5、^

6、;(2)(Xl9X2)=(Yl,Y2)8.判断下列命题是否正确.(1)若矩阵力的特征值都是零，则A=O.(1)/的一个特征向量可以属于不同的特征值.(1)对于任意n阶矩阵4力与川有相同的特征值和特征向量.9.求卞列矩阵的特征值与特征向量仃-13、(324

7、、厂2-12、⑴012(2)202(3)5-33<002丿,423丿,一10-2,(4)人=即=/、■■■血点,…,bj,其中x/a■■，P=b2■■■,(qHO0HO)且a1p=0&丿'710.已知12是矩阵/=44-1、7-1的一个特征值，求Q的值.°4丿r2111.已知x=k是矩阵M=12J11)1的一个特征向量.求&及兀所对应的待征值.2丿12.设/有一个特征值2,求A2-2A-2E的一个特征值.‘2113.已知向量。=(1,仁1)厂是矩阵A=12J11]1的逆矩阵沪的特征向量，试求常数2丿£之值.14.设/为2阶矩

8、阵，血为2维线性无关的列向量，力$=0,Aa2=2a}+a2,求A的非0特征值及对应的特征向量.15.己知三阶矩阵/可对角化且特征值为1,-1,2,设矩阵B=Ay-5A2,试求：(1)矩阵B的特征值;(2)行列式同及A-5E(E为三阶单位阵).16.设三阶矩阵/的特征值为人=-1,^=1,入=5,对应的特征向量是:(1、<1、5、-1，§2=-16=1丿「丿<-b求矩阵A.17.判断下列说法是否正确.(1)相似矩阵一定有相同的特征向量(2)〃阶矩阵/与B相似的充分必要条件是/与B相似于同一个对角矩阵.18-设/为刃阶矩阵，几

9、入是力的两个不同的特征值，鼻&是/的分别属于九入的特征向量，证明6+层不是/的特征向量.‘-200、<2、19.设A=2a-2与B=2相似「3-3。丿

10、+a2+a.fAa2=2a2+a.,Aa}=2a2+3a.(1)求矩阵B,使A(a}9a2,a3)=(al9a29a3)B；(2)求矩阵/的特征值；(3)求可逆矩阵P,使得K/P为对角阵.24.求正交矩阵戶，使PlAP为对角形矩阵：<2-20、厂2-1_1、⑴八-21-2(2)A=-12-13-2厂1-12,P0r(3)A=010(4)/1=J°0>0212、20001000,2000丿（II类）1.若4阶方阵/与3相似，力的特征值为丄丄，丄丄，则B^-E=（）.2345A.24B.-24C.-32D.322.设/为〃阶矩阵，工

11、为/属于2的一个特征向量，则与/相似的矩阵B=P-'AP的属于几的一个特征向量为（）.A.PxB.严kC.PTxD.Pnx3.下列结论正确的是（）.A.兀1，兀2是方程组（A-AE）x=0的一个基础解系，则何召+心兀2是/的属于久的全部特征向量，其中你心是全不为零的常数.B./与3有相同的特征值，则/与3相似C.如果二0,则/至少有一个特征值为零D.若2同是方阵力与〃的特征值，则2也是A+B的特征值（\4.与矩阵1相似的矩阵是（）.IL厂110、501、"00、‘100、A.010B.020C.011D.120,002丿<00

12、1丿.002丿X/JTb5.设向量。=（如a?,…，a）T,卩=5,b»…,qy都是非零向量，且满足条件刃0=0,记n阶矩阵A=a^,则（）.A./是可逆矩阵B./不是零矩阵C.力的特征值全为（）D./的特征值不全为06.n阶矩阵/有〃个不同的特征值是/与对角阵