线性代数习题及答案4

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1、线性代数测试题（四）一、选择题（每小题5分，共25分。）1．已知四阶行列式第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2，-2，1，0，则的值为【】A．；B.；C.3；D.5.2．已知阶矩阵,则的所有元素的代数余子式之和等于【】A．0；B．1；C．-1；D．2.3．设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩，则【】A．；B．；C．；D．与的关系依而定.4．设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是【】A．的列向量组线性无关；B．的列向量组线性相关；C．的行向量组线性无关；D。的行向量组线性相关.5．设是阶可逆矩阵的特

2、征值，是的对应于的特征向量，是阶可逆矩阵，则的对应于特征值的特征向量是【】A．；B．；C．；D．.二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。）1．设都是阶正交矩阵，若，则.2．已知，其中，则.3．已知向量组线性无关，若向量组线性相关，则.4．若线性方程组无解，则常数应满足的条件是.5．若4阶矩阵与相似，且的特征值为1，2，3，4，则矩阵的全部特征值为.三、计算证明题（50分）1(12分)求向量组的一个极大线性无关组和秩.2．(15分)设为三阶实对称矩阵，且满足条件，已知的秩(1)求的全部特征值；(2)当为何值时，矩阵为

3、正定矩阵，其中为三阶单位矩阵.3．(15分)已知二次型通过正交变换可化为标准形，求参数及所用的正交变换.4．(8分)设是阶矩阵，且满足，证明:.线性代数测试题（四）一、选择题（每小题5分，共25分。）1.D；2.B；3.C；4.A；5.A.二、填空题（每小题5分，共25分。）1．0；2．；3．1；4．且；5．(23,11,7,5)．三、计算证明题1．解：设，用初等行变换将化为行阶梯形矩阵：（8分）易知，为向量组的一个极大线性无关组，它的秩为2.（4分）2．解：(1)设为的一个特征值，对应的特征向量为，即于是，由于，可知，解得。因为实

4、对称矩阵必可对角化，又，所以A应对角矩相似.（2分）因此的全部特征值为.（1分）(2)矩阵为实对称矩阵，其特征值为，（4分）于是当时，矩阵的特征值都为正数，因此为正定矩阵.3.解：二次型的矩阵为（1分）设所求的正交矩阵为，则即，两边取行列式，有（2分）即，解得又因为的特征值为，故当时，解方程组得特征向量（2分）当时，解方程组得特征向量（2分）当时，解方程组得特征向量（2分）显然，，是正交向量组，将它们单位化后得:.（3分）故所求的正交矩阵为.（1分）4.证明：由题设得,于是有由,可知，综上得.（1分）