线性代数习题及答案.doc

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1、线性代数测试题（-）一、单项选择题（每小题3分，共15分。）1.已知是同阶方阵，下列等式中正确的是【】A.；B.；C.；D..2.设是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是【】A.；B.；C.；D..3.设是矩阵,则下列命题正确的是【】A.的行向量组线性无关；B.的行向量组线性相关；C.的列向量组线性无关；D.的列向量组线性相关.4.设是阶可逆矩阵，是的一个特征值，则的一个特征值是【】A.；B.；C.；D..5.设阶方阵与相似，则下列命题不正确的是【】A.与有相同的特征值；B.；C.；D.与有相同的特征向量.二、填空题（每小题3分，共15分

2、。）1.已知，当t时，线性无关.2.中的系数是.3.设为3阶方阵，的特征值为-1，1，2，则=.4.设是三元线性方程组的三个解，且，，，则的通解为5.设二次型是正定的，则的范围是三、（本题10分）已知，矩阵满足，求矩阵四、（本题10分）求下列向量组的秩和一个最大无关组..五、（本题14分）已知线性方程组(1)(8分)为何值时，方程组有惟一解?无解？无穷多解？(2)(6分)在有无穷多解的情况下求出其通解.六、（本题10分）已知三阶方阵的特征值为-1，1，2.设.(1)(5分)求矩阵的行列式及的秩；(2)(5分)求矩阵的特征值及其相似对角矩阵.七

3、、（本题14分）设，求正交矩阵使得为对角矩阵.八、证明题（本大题2小题，每小题6分，共12分）1.向量组线性无关，试证向量组线性无关.2.设为矩阵,为矩阵,且.证明：线性代数测试题答案(一)一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.A；2.B；3.B；4.B；5.D.二、填空题（每小题3分，共15分）1.；2.-4；3.；4.；5..三、（10分）解：由得（1分）（2分）所以（2分）（3分）故.（2分）四、（10分）解：对A进行初等行变换（5分）此向量组的秩为：3（2分）它的一个最大无关组为（3分）五、（14分）解：(1)系数矩阵的行列式为（

4、5分）当时，方程组有惟一解；（1分）当时，，方程组无解；（1分）当时，，方程组有无穷多解；（1分）(2)对增广矩阵进行行初等变换：（3分）原方程组的通解为：（3分）六、（10分）解：(1)（3分）（2分）(2)设为的特征值，为的对应于的特征向量，则：的特征值为-4，0，5（4分）的相似对角矩阵为：.（1分）七、解：得到特征值（3分）时，，对应于的两个正交的特征向量为，单位化得（6分）时，，对应于的一个特征向量为，位化得（3分）正交阵.（2分）八、（共12分）1.证：令（2分）整理得：(1分)由于线性无关，所以有：（2分）则向量组线性无关.（1

5、分）证：为矩阵，为矩阵，且，（4分）又为阶方阵，则.（2分）