线性代数第一版习题4答案

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1、习题4P1251设3（α1-α）+2（α2-α）=5(α3+α)其中，α1=，α2=，α3=。求α解：由3（α1-α）+2（α2-α）=5(α3+α)3α1-3α+2α2+2α=5α3+5α(5+3-2)α=3α1+2α2-5α36α=3α1+2α2-5α3α=α1+α2+α3=+-=+-===2设α=,β=,γ=,求α-β,3α+β-2γ,解：α-β=-==.3α+β-2γ=3+-2=+-==3将下列各题中的向量β用其余向量线性表示。（1）β=，α1=，α2=，α3=，α4=。-23-（1）β=，α1

2、=，α2=，α3=，α4=。解：设有数，，使α1+α2+α3+α4=β即（α1，α2，α3，α4）=β得线性方程组解此线性方程，对增广矩阵作行初等变换，化成行最简形矩阵=B可见=3，因此向量B可由α1，α2，α3，α4线性表示。由行最简形，有即令=C，（C为任意实数）有即-23-从而得表示式β=（α1，α2，α3，α4）=（α1，α2，α3，α4）=,其中，.取C=0，则有β=3α1+5α3。（2）设有数，，使α1+α2+α3+α4=β即（α1，α2，α3，α4）=β得线性方程组：。解此线性方程组，对增

3、广矩阵作行初等变换，化成行最简形矩阵，可见R(A)=R(A非）=4，因此向量β可由α1，α2，α3，α4线性表示，由行最简形，有从而得表示式：β=（α1，α2，α3，α4）=（α1，α2，α3，α4）=4．问下列向量组是线性相关还是线性无关，并说明理由。-23-（1）=，=；（2）=，=，,=，=（3）=，=，；（4）=，=，=。解：对由向量组，，构成矩阵A=(,)施以行初等转换，化为阶梯型矩阵，求A的秩。A=.因为R(A)=1，小于向量组中所含向量个数，所以向量组，线性相关，因为对应分量成比例，（2）

4、向量组，，，线性相关，因为向量组的个数m=4，维数n=3.向量组的个数>维数，故向量组线性相关。P101推论2（1）对由向量组，，构成矩阵A=（，，）施以行初等变换，化为行阶梯形矩阵，求矩阵A的秩A=因为R（A）=3，等于向量组中所含向量的个数，故向量组线性无关。法2：==3≠0∴向量组线性无关P101推论1（2）对由向量组，，构成的矩阵A=（，，）施以行初等变换，化为行阶梯形矩阵，求矩阵A的秩A=-23-因为R（A）=3，等于向量组中所含向量的个数，故向量组线性无关。5.问a取什么值时下列向量组线性相

5、关？，，解：法一：对由向量组构成的矩阵A=（）施行行初等变换，化为行阶梯形矩阵，求矩阵A的秩。A=所以当a=-1及a=2时，R(A)=2，小于向量组中所含向量的个数，此时，向量组线性相关。法二：设由构成的矩阵为A，则==-（a+1）(a-2)=0所以当a=-1及a=2时，R(A)=2，小于向量组中所含向量个数，此时，向量组线性相关。6.设向量组线性相关，向量组，，线性无关，证明（1）能由，线性表示，且表示式唯一。（2）不能由，，线性表示。证明：（1），，线性相关-23-有不全为零的数，，使++=0.下证

6、≠0.若=0，则，不全为零，并且+=0.，线性相关，从而，，也线性相关，矛盾.≠0.从而有=（-）+（-）.可由，线性表示，且表示式唯一.（2）（反证法）若可由，，线性表示，则有一组数，，，使=++.而由（1）知，可由，线性表示，从而有一组数，使=+.从而有：=（+）++=（+）+（+）.(+)+(+)－=0.而+，+，-1为不全为零的数，因此，，线性相关.矛盾，所以不能由，，线性表示。7.设β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α4，β4=α4+α1，证明向量组β1，β2，β3，β4线性相关

7、。证明一：∵β1-β2+β3-β4=(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1)=0.∴由定义知向量组β1，β2，β3，β4线性相关.证明（法二）：由题设（β1，β2，β3，β4）=（α1，α2，α3，α4）记作B=AK.=-=1-1=0.故R(K)<4.由矩阵秩的性质可知R(β1，β2，β3，β4)≤R(K)<4.-23-由定理知，向量组β1，β2，β3，β4线性相关.证明(法三)：设有x1,x2,x3,x4,使x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=0即x1（α1+α2）+x2（α

8、2+α3）+x3（α3+α4）+x4（α4+α1）=0也即（x1+x4）α1+（x1+x2）α2+（x2+x3）α3+（x3+x4）α4=0考察线性方程组，因为齐次线性方程组系数矩阵的行列式=0.因而有非零解.即向量等式x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=0有非零解，故向量组β1，β2，β3，β4线性相关.8.9.求向量组的秩及其一个最大无关组。（1），，（2），，，解：（1）设构成矩阵对施以行初等变换，化为行阶梯形矩A=可知K(A)=