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1、课时分层训练（五十三）双曲线（对应学生用书第256页）A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1.（2017-石家庄一模）已知双曲线的离心率为2,焦点是（一4,0）,（4,0）,则双曲线的方程为（）?929A丄一JbU］a・4121口・1241222cU1D—110616101A［已知双曲线的离心率为2,焦点是（-4,0）,（4,0）,则c=4,a=2f圧=?V212,双曲线方程为才—令=1，故选A.］222.（2018-合肥调研）双曲线［—幻=1（。>0,b>0）的一条渐近线与直线x+2j；—1=0垂直
2、，则双曲线的离心率为（）A.C.B,故选B.］B.y/52bc［由已知得彳=2,所以e=^=3.已知点尺（一3,0）和心3,0）,动点F到尺,局的距离之差为4,则点尸的轨迹方程为（）X2/X2A.才一+=10>0）B.J-^=l（x>0）92。2芮xxc.；_丁=10>0）D.:_M=gO）B［由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为22孑—”=］（兀>0,a>°，b>0）,由题设知c=3,a=2,尸=9一4=5.22所以点P的轨迹方程为才一十=1（x>0）.]224.（2018-济南一
3、模）已知双曲线卡一”=1（q>0,b>0）上一点到两个焦点的距离分别为10和4,口离心率为2,则该双曲线的虚轴长为（）【导学号：97190293]A.3B.6C.3羽D.6^3D[由题意得2q=10—4=6,解得a=3,又因为双曲线的离心率e=》=2,所以c=6,则5=寸（?_/=3寸5,所以该双曲线的虚轴长为2b=6书,故选D.]5.（2017-天津高考）已知双曲线产一幻=1（。>0，b>0）的右焦点为F,点力在双曲线的渐近线上，5OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）2_2b・n~
4、7=l7A.才-Ac・〒—宀D[根据题意画出草图如图所示不妨设点昇在渐近线7=务上.由△/OF是边长为2的等边三角形得到ZAOF=60°fc=OF]=2.又点/在双曲线的渐近线尹=务上，/.^=tan60°=^3・又/+斥=4,.a=1,b=书,・••双曲线的方程为,=i.故选D.]二、填空题6.过双曲线x2-y=l的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于3两点，贝\AB=.4^3[取曲线的右焦点为F（2,0）,过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方22程为F—牙=0,将兀=2代入/—专
5、■=（）,得x=12,y=±2羽，:.AB=4y[3.]227.设双曲线亍一牙=1的左、右焦点分别为Fi，F?，过Fi的直线/交双曲线左支于B两点，贝iJ
6、SF2
7、+
8、/1F2
9、的最小值为・%2V210[由双曲线的标准方程为~2=1得a=2,由取曲线的定义可得MEI-
10、^Fi
11、=4,
12、5F2
13、-
14、SFi
15、=4,所以AF2-AFi+BF2-BF}
16、=8.因为
17、/Fi
18、+
19、BF]
20、=AB,当
21、/団是双曲线的通径时,AB最小，所以(AF2+BF2)m[n=ABm[n+8=学+8
22、=10.]8.（2017-全国卷I）已知双曲线C：为一*=1（。>0，b>0）的右顶点为以/为圆心，b为半径作圆圆/与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若ZMAN=60°f则C的离心率为.【导学号：97190294]bx—ay=0,・•・点/到/的距离d=abyjcr+b2爭[如图，由题意知点力@,0）,双曲线的一条渐近线/的方程为尹=务，即又ZMAN=60°fMA=NA=b,:.△仏N为等边三角形，:.d=^MA=^b,即寸乌:b2=^b,a2=3b2,・_£一la2+b22y[3-e=a=l~^=3J
23、三、解答题229.已知椭圆D爲+吉T与圆M：x2+（y-5）2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.［解］椭圆D的两个焦点为Fi(-5,0),F2(5,0),因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5.XV设双曲线G的方程为才一話=1@〉0,b>0),渐近线方程为bx±ay=0且/+沪=25,又圆心71/(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.・•・双曲线G的方程为令一話=1.6.已知双曲线的中心在原点，左,右焦点Fi，£在坐标轴上，离心率为迄,且过点(4,-VlO
24、).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3,加)在双曲线上，求证：济1•砸=0.［解］⑴―也,・・・可设双曲线的方程为兀2_尸=工o).・・•双曲线过点(4,一帧)，・・・16—10=2,即久=6,・••取曲线的方程为X2—y=6.(2)证法一：由⑴可知，双曲线中a=b=甫,・・・c=2羽，・・・戸(一2羽，0),F2Q晶0),•・•点M(3,加)在双曲线上，・・・9一加2=6,加2=3,故kMFv
