课时分层训练53　双曲线.doc

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1、课时分层训练(五十三)　双曲线(对应学生用书第256页)A组　基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1　　B.－＝1C．－＝1D．－＝1A　[已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A．]2．(2018·合肥调研)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．＋1B　[由已知得＝2，所以e＝＝＝＝，故选B.]3．已知点F1

2、(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)A．－＝1(y>0)B．－＝1(x>0)C．－＝1(y>0)D．－＝1(x>0)B　[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]4．(2018·济南一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点到两个焦点的距离分别为10和4，且离心率为2，则该双曲线的虚轴长为(　　)【导学号：97190293】A．3B．6C．3D．6D　[由题意得2a＝10－4＝6

3、，解得a＝3，又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝6，则b＝＝3，所以该双曲线的虚轴长为2b＝6，故选D.]5．(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－y2＝1D．x2－＝1D　[根据题意画出草图如图所示不妨设点A在渐近线y＝x上．由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝

4、OF

5、＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan60°＝.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.故选D.]

6、二、填空题6．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则

7、AB

8、＝________.4　[双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，∴

9、AB

10、＝4.]7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则

11、BF2

12、＋

13、AF2

14、的最小值为________．10　[由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得

15、AF2

16、－

17、AF1

18、＝4，

19、BF2

20、－

21、BF1

22、＝4，所以

23、AF2

24、－

25、AF1

26、＋

27、BF2

28、

29、－

30、BF1

31、＝8.因为

32、AF1

33、＋

34、BF1

35、＝

36、AB

37、，当

38、AB

39、是双曲线的通径时，

40、AB

41、最小，所以(

42、AF2

43、＋

44、BF2

45、)min＝

46、AB

47、min＋8＝＋8＝10.]8．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.【导学号：97190294】　[如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝.又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝M

48、A＝b，即＝b，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.]三、解答题9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为－＝1.10．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)

49、求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1·2＝0.[解]　(1)∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝－.∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即1·2＝0.证法二：由证法一知1＝(－3－2，－m)，2＝(2－