线性代数教案 第二章 矩阵及其运算

《线性代数教案 第二章 矩阵及其运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日授课章节第二章矩阵及其运算§1矩阵§2矩阵的运算目的要求理解矩阵的概念重点难点矩阵的乘法及伴随矩阵复习……………………………………………………………………………………3分钟§1矩阵定义1由m×n个数aij（i=1,2,…,m，j=1,2,…,n），排成m行n列的数表：称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。记做或，也可简记。切记不允许使用。矩阵的横向称行，纵向称列。矩阵中的每个数aij称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。本课

2、中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。几种特殊得矩阵：（１）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量，（２）只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。（３）所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做Ｏ。（４）当ｍ＝ｎ时，矩阵称为方阵。即，这里的位置称为矩阵的主对角线。注意：不是方阵没有主对角线。在方阵中，第次第2－14页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日上三角矩阵：（主对角线以下均为零）；下三角矩阵：（主对角线以上均为零）；对角矩阵：（既是上三角又是下三角），记作.单位矩阵：对角元素为1的对角矩阵，记作Ｅ或Ｅｎ（阶），即。当时，即，此时矩阵退化为一个数。矩阵的引进为许多实际的问题研

3、究提供方便。例如含有n个未知数，m个方程的线性方程组把和按原顺序可以组成一个矩阵：任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。第次第2－14页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日例1已知某方程组对应于下列矩阵。那么该方程组就是：。同型矩阵具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。矩阵相等若同型矩阵和在对应位置上的元素都相等，即则称矩阵A与B相等，记做A=B。注意，不同型的矩阵是不能比较相等的。同型矩阵也不能比较大小。…………………………………………………………………………………………42分钟§2矩阵的运算一、矩阵的加法定义2设

4、和是的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定义为一个的矩阵：。例2设,，计算。负矩阵设，称矩阵为矩阵A的负矩阵。矩阵的减法：二、数与矩阵相乘定义3（矩阵数乘）数与矩阵的乘积（称之为数乘），记作或，定义为一个的矩阵第次第2－14页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日。以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：（1）交换律（2）结合律（3）（4）（5）数对矩阵的分配律（6）矩阵对数的分配律（7）结合律例3设，且求矩阵X。解：由得。三、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换：，其系数矩阵；，其系数矩阵从而可得从到的线性变换：，其系数矩阵，记做C则。显然，矩阵C是由矩阵

5、A、B产生的，把这种运算称为矩阵与矩阵的乘积。第次第2－14页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日定义4（矩阵乘法）设是一个矩阵，是一个矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个的矩阵，其中.由定义，不难看出（强调）：（1）只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB；（2）矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数；（3）矩阵C=AB在位置上的元素等于A的第行元素与B的第列对应元素的乘积之和。例4设矩阵，，求AB和BA(BA无意义)。例5设矩阵,求AB和BA。例6设A是的矩阵（行向量），是的矩阵（列向量），即，，求AB和BA。上述几个例子显示，当

6、AB有意义时，BA不一定有意义（例4）；即使AB和BA都有意义（例5、6），但不一定有相同的阶数（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例5）。例5还说明，如果AB=O，不是一定有A=O或B=O。一般情况而言矩阵乘法不满足交换律。特殊的，若两个矩阵A和B满足，则称矩阵A和B是可交换的。例7设是一般矩阵，和分别是m和n阶单位阵，则和。如果A是方阵时，有AE=EA=A，E相当于数1的作用。这就是称E为单位阵的原因。矩阵乘法满足以下运算律：（1）结合律。第次第2－14页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日（1）数乘结合律。（2）分配律；。矩阵的幂设是阶矩阵，定义：,其中

7、，是正整数；特别规定.由于乘法成立分配律结合律，有，，但由于不成立交换律，故一般。例8设矩阵、是上（下）三角矩阵，则亦是上（下）三角矩阵；且的对角元素等于、对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。例9用矩阵表示线性方程组。解：令，称A为系数矩阵；，称b为常数项矩阵；，称X为未知数矩阵；则原方程组可表示为AX=b。四、矩阵的转置定义5(转置矩阵)设，是将A的行和列对应互换得到的矩阵，称它为A的转置矩阵，记作。如，则。矩阵的转置满足下列运算法则：第次第2－14页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日（1）；（2）；（3