源于教材_高于教材

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1、教材教法教材点击2014年4月源于教材,高于教材筅江苏省扬中市新坝中学张兆伟在高中数学人教B版教材必修4单位圆与三角函数经典模拟试题:设α是锐角三角形的一个内角,则线一节中,课本思考与讨论中出现结论sinx<x<tanx,x∈().πA.sin(sinα)<cosα<cos(cosα)20,2,这个不等式揭示了锐角x的弧度数与sinx、tanx2B.sin(sinα)>cosα>cos(cosα)的关系.本文举例说明该三角不等式在数学竞赛、高考C.sin(cosα)>cosα>cos(sinα)模拟卷中的一些运用.D.sin(cosα)<c

2、osα<cos(sinα)π定理:若0<x<,则sinx<x<tanx.ππ2解:由α∈20,坌,得cosα∈(0,1)奂20,坌,则22π证明:如图,在单位圆中,记∠AOB=x,0<x<,则有ππ2sin(cosα)<cosα.由α∈20,坌,得sinα<α.又α∈20,坌22111S△AOB=sinx,S扇形OAB=x,S△OBC=tanx.由图可知:S△AOB<时,y=cosx为减函数,则cosα<cos(sinα).222111S扇形OAB<S△OBC,即sinx<x<tanx,则sinx<x<tanx.二、强强联手,变形半角222

3、y3πx例2设0<x<,证明sinx>x-(.第三届希望杯邀AC24请赛)OBxπxxx证明:当0<x<时,sinx=2sin·cos=2tan·2222xxxxxx3222一、本色出演,原汁原味cos2=2tan2·21-sin2坌>2·2·%1-22坌%D=x-4.π7训练2:证明:当x∈D0,坌时,tanx+sinx>2x.例1证明sin20°<(.第12届全俄数学竞赛试题)220xxxππ72tan2tan4tan证明:sin20°=sin<<,则该不等式成立.2229920证明:tanx+sinx=+=>2x2x4xπ1-tan1

4、+tan1-tan训练1:坌x、y、z∈20,坌,且x<y<z,证明:sin(y-x)+2222xπ4tan>2x.sin(z-y)+sinx<.22经典模拟试题:在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+π证明:坌x、y、z∈20,2坌,且x<y<z,sin(y-x)<y-x,sinC+tanA+tanB+tanC>2π.sin(z-y)<z-y,sinx<x,则sin(y-x)+sin(z-y)+sinx<y-x+z-证明:由训练2可知tanA+sinA>2A,tanB+sinB>2B,πtanC+sinC>2C,则sinA+sinB+

5、sinC+tanA+tanB+tanC>2(A+y+x=z<.2B+C)=2π.(下转第47页)30高中版数坛2014年4月教育纵横在线方程、数形结合、等价转化与化归、分类讨论与整体等数要让学生学会思考,学会选择.本节课中,通过师生一同学思想方法,使学生的思维在灵活性、广阔性、深刻性、探索多种解题方法,让学生学会依据题目的结构特点,创新性等方面得到了充分的锻炼.合理地选择方案,有效地选取方法,体验出各种解法的2.解题教学要有效实现课堂的教学高效优劣,形成了思维优化的解题经验.另外,在总结和评价数学是思维型学科,数学教学是一个既要“结果”,中

6、,学生亲身体会到各种解法需要的潜在数学能力和数更要“过程”的思维教学“.讲解题,不讲怎样解题”,“讲学素养,在各种方法的比较中,更加真切体会到自身的解法,不讲如何想到解法”,最后沦落为“解法若干加技不足和如何合作学习,进而明确了今后在数学学习中的巧若干”的灌输式教学模式,只会给学生加重学习负担,努力方向.禁锢学生的思维形成与发展.本节课我们依照波利亚的解题理论,引导学生主动从拟定解题方案开始,到独立参考文献:寻找问题的解答,充分放手让学生独立思考,自主实践,1.波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京:科学出版既充分调动学生学习的积极性,又

7、给予了学生集思广社,1982.益,互相学习的机会.实现了高效课堂的构建模式.2.陈光建,郑日锋.一花一世界一题一天地[J].中小3.解题教学要积极促进学生的情感体验学数学(高中),2013(4).波利亚说:“数学问题的解决仅仅只是一半,而重要3.李红春.平中见奇凡而不俗[J].中学数学(上),的是解题后的回顾与反思”.我们解题教学的目的就是2012(4).FH(上接第30页)解析:利用反证法.π假设β≥α,则cosβ≤cosα,且cosβ、cosα∈0,,则三、活学活用,方显本质2cosα≥cosβ>sin(cosβ),即α>β,与假设

8、矛盾,则假设不成sinxπ例3证明:函数(fx)=在区间0,上单调递立,则β<α.x2减.假设γ≤α,则sinγ<γ≤α,即sinγ<α,且sinγ、α∈cosx·x-sin

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