正项级数审敛法到函数级数一致收敛审敛法的推广

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1、内江师范学院学报第25卷第10期∋20∋JOURNALOFNEIJIANGNORMALUNIVERSITYNo.10Vol.25正项级数审敛法到函数级数一致收敛审敛法的推广*徐
家
斌(内江师范学院数学与信息科学学院,
四川
内江
641100)

摘
要:将正项级数审敛法推广到函数级数一致收敛审敛上去,得到了函数级数一致收敛的DAlembert判别法、Cauchy判别法、Raabe判别法和它们的极限形式,以及推广的Weierstrass判别法,并揭示了这些判别法的实质是比较两个函数级数通项一致收敛于零的速度的快慢.关键词:函数级数;一致收敛;DAlem

2、bert判别法;Cauchy判别法;Raabe判别法中图分类号:O173文献标志码:A文章编号:1671-1785(2010)10-0020-050
引言

证明
若!

3、vn(x)

4、在I上一致收敛,由一致收一致收敛性是函数项级数理论中的核心内容,虽敛的柯西准则,
>0,N∀N+,n>N,p∀[1
6]然归结为函数列的一致收敛性,但判别法较少而且N+,x∀I,都有通常要求较高的技巧,使用困难.由于函数项级数是常

5、vn+1(x)

6、+

7、vn+2(x)

8、+#+

9、vn+p

10、<
.数项级数的推广,因此一种自然的想法是将常数项级故有数的审敛法推广到函数项级数上去.

11、下文将正项级数

12、vn+1(x)+vn+2(x)+#+vn+p(x)

13、审敛的比较判别法、DAlembert判别法、Cauchy判别

14、vn+1(x)

15、+

16、vn+2(x)

17、+#+

18、vn+p(x)

19、<
,法、Raabe判别法和它们的极限形式推广到函数项级再由函数项级数一致收敛的柯西准则知,!vn(x)在数的一致收敛审敛上去,得到的函数项级数一致收敛I上一致收敛.的审敛法简单实用.显然,引理1结论中的un(x)在I上不仅一致收[7]!引理1
若在区间I上,对任何正整数n,敛,而且绝对一致收敛.

20、un(x)

21、vn(x),则当!vn(x)在I上一致收敛时,1
主要结论级

22、数!un(x)在I上也一致收敛.注1
引理1可看作正项级数的比较判别法在函推论1
设!un(x)和!vn(x)为区间I上的正数项级数中的推广.显然,引理1的逆否命题也成立,项函数项级数(vn(x)∃0,x∀I):即当!

23、un(x)

24、在I上非一致收敛时,级数!vn(x)un(x)(i)若limsup=l,且0l<+&,则当n%&x∀Ivn(x)在I上也非一致收敛,且当取!vn(x)为收敛的正项级数时,立即可得函数项级数一致收敛的M判别法.!vn(x)在区间I上一致收敛时,!un(x)也在区间I上一致收敛;引理2
若!

25、vn(x)

26、在I上一致收敛,则un(x)(

27、ii)若liminf=l,且0

28、un(x)

29、=

30、umk+r(x)

31、证明
(i)由limsup=l,且0l<+&,取q>n%&x∀Ivn(x)=

32、u(m-1)k+r

33、(x)

34、0使0l

35、u(m-1)k+r(x)

36、un(x)v(m-1)k+r(x)n>N,都有supN,x∀Ivn(x)vn(x)

37、u(m-2)k+r(x)

38、un(x)un(x)v(m-2)k+r(x)x∀I,都有sup

39、ur(x)

40、.qvn(x).由引理1知,当!vn(x)在区间I上一致收敛vr(x)un(x)时,!un(x)也在区间I上一致收敛.又在区间I上一致有界,即M>0,x∀I,vn(x)un(x)(ii)由limin

41、f=l,且0

42、ur(x)

43、n%&x∀Ivn(x)n∀N+,M,特别地M,故vn(x)vr(x)0

44、un(x)

45、Mvn(x).又!vn(x)在区间I上一致收un(x)n>N,都有inf>q,此时x∀I,都有x∀Ivn(x)敛,再由引理1知,u!n(x)在区间I上也绝对一致收un(x)un(x)(inf>q,敛.vn(x)x∀Ivn(x)(ii)反证.若!vn(x)在区间I上一致收敛,则由即un(x)>qvn(x).由引理1知,若!vn(x)在区间I(i)得!un(x)在区间I上也绝对一致

46、收敛,由引理2上非一致收敛时,!un(x)也在区间I