边缘分布随机变量的相互独立性

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1、边缘分布随机变量的相互独立性边缘分布marginaldistribution二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题边缘分布marginaldistribution设二维随机变量的分布函数为，依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数．二维离散型R.v.的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p

2、21p22p23…x3p31p32p33………………二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二维离散型R.v.的边缘分布例1设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/

3、3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列二维连续型随机变量的边缘分布关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为的边缘分布函数为关于的边缘分布函数为关于例2设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度函数解由得当时关于X的边缘分布密度为113113解所以，关于X的边缘分布密度为所以，关

4、于Y的边缘分布密度为当时当时当时关于Y的边缘分布密度为边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为（1）求k值(2)求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)(2)均匀分布解(1)由得当时-11当时所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..-11解当时当时所以，关于Y的边缘分布密度函数为解（3）见课本P59例3如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布例4设（X，

5、Y）的联合分布密度函数为求关于X，Y的边缘分布密度函数解关于X的分布密度函数为所以，同理可得不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于★★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。对任意i,j对任意x,y在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影

6、响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例12/51/52/5p.j2/44/202/204/2021/42/201/202/2011/42/201/202/201/2pi.20-1yx逐个验证等式证∵X与Y的边缘分布律分别为∴X、Y相互独立2/51/52/5p.i20-1X2/41/41/4Pj.211/2Y例2设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0≤X≤1，0

7、≤Y≤1）(2)(X,Y)的边缘密度，（3）判断X、Y是否独立。解①设A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11②边缘密度函数分别为当时当时所以，同理可得③所以X与Y相互独立。例3已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解（X,Y）的密度函数为当时，所以，关于X的边缘分布密度为关于X的边缘分布密度为当或时当时，所以，关于Y的边缘分布密度为关于Y的边缘分布密度为当或时所以所以，X与Y不独立。设（X,Y)服从矩形域上的均匀分

8、布，求证X与Y独立。例4时解于是同理所以即X与Y独立。时