边缘分布、相互独立性

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1、两个随机变量的相互独立性二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布在已知二维随机变量的联合分布的前题下，有时候我们会感兴趣其中某个变量的分布，（称作边缘分布）希望能由已知设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为则随机变量X的分布函数为：随机变量Y的分布函数为：分别称为二维随机变量关于X和关于Y的边缘分布函数。的联合分布求得。二维离散型随机变量的边缘分布得——二维离散型随机变量的边缘分布是一维离散型分布例1设二维随机变量的联合分布律为：试分别求出关于和的边缘分布律及的分布律。解：二维连续型随机变量的边缘分布关键是由二维随机变量的联合分布密度求出关于两个随机变量的边缘

2、分布密度。一方面，我们有：另一方面，我们有：所以，同理，二维连续型随机变量的边缘分布是一维连续型分布例2设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：别处求分别关于X，Y的边缘分布密度及边缘分布函数。解：关于X的边缘分布密度当或时，当时，所以别处例2设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：别处求分别关于X，Y的分布密度及分布函数。当时,当时，当时,所以解：......别处例2设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：别处求分别关于X，Y的分布密度及分布函数。解：......关于Y的边缘分布密度当或时，当时，所以别处例2设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：别处求分

3、别关于X，Y的分布密度及分布函数。当时,当时，当时,所以解：......别处例3设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：别处求分别关于X，Y的分布密度。解：关于X的分布密度当或时，当时，所以别处例3设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：别处求分别关于X，Y的分布密度。解：关于Y的分布密度当或时，当时，所以别处D是等可能的，求该点到Y轴的距离的分布函数。例4设点（X，Y）落有曲线与X轴之间的区域解：由题意，（X，Y）服从区域D上的均匀分布。D因为所以当或时，当时，点到Y轴的距离的分布即坐标X的分布，D是等可能的，求该点到Y轴的距离的分布函数。例4设点（X，Y）落

4、有曲线与X轴之间的区域D解：......别处当时,当时，当时,所以，由上面介绍我们看到：由联合分布密度可求出两个边缘分布密度和反过来，由两个边缘分布密度和能否求出联合分布密度呢？一般来说是不行的！例如：设（X，Y）服从二维正态分布，其密度函数为：反过来，由两个边缘分布密度和一般不能得出联合分布密度可求得，它的两个边缘分布分别是：不能确定两个随机变量的相互独立性定义——X与Y相互独立判别法1——离散型随机变量X与Y相互独立判别法2——设X，Y是两随机变量，若对实轴上的任意两个集合则称X与Y相互独立。有连续型随机变量X与Y相互独立判别法3——均有例如：与非相互独立。与是

5、相互独立。又如例2中：别处别处别处X与Y相互独立。又如例3中：X与Y非相互独立。别处别处别处例5设二维随机变量和的联合分布密度是：问为何值时，与相互独立？解：这时可验证与相互独立。例6设随机变量，且X与Y相互独立，求X，Y的联合密度函数。解：已知因为X与Y相互独立，所以X，Y的联合密度函数为离散型随机变量的条件分布条件分布律具有一维分布律的性质联合分布律唯一确定条件分布律，要求条件分布律，只须先求出边缘分布律，然后将联合概率除以边缘分布的概率即可.连续型随机变量的条件分布密度的条件下的条件分布密度为在;.的条件下的条件分布密度为在2.设随机变量X与Y相互独立，且它们

6、的分布密度分别如下，求X，Y的联合密度函数。其它其它求X，Y的联合密度分布列。1.设随机变量X与Y相互独立，且它们的分布律分别如下，补充作业题——再见！