边缘分布函数与边缘分布密度

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1、3.2.1边缘分布函数与边缘分布密度3.2.2随机变量的独立性3.2.3条件分布§3.2边缘分布设(X,Y)的联合分布函数F(x,y)则X和Y的边缘分布函数FX(x),FY(y)分别为:3.2.1边缘分布函数与边缘分布密度1p.1p.2…p.j…P{Y=yj}p1.p2.pi.p11p12…p1j…p21p22…p2j…pi1pi2…pij………x1x2xiP{X=xi}y1y2…yj…XY(i=1,2,…)(j=1,2,…)例如1.离散型二维随机向量的边缘分布(i=1,2,…)(j=1,2,…)设

2、(X,Y)的联合分布列为pij=P{X=xi,Y=yj},则(X,Y)的边缘分布列为FY(y)=F(+∞,y)=FX(x)=F(x,+∞)=(X,Y)的边缘分布函数为：即P1.p2.···pi.···pi.x1x2···xi···Xp.1p.2···p.j···p.jy1y2···yj···Y1.离散型二维随机向量的边缘分布你只要把每列的概率相加放在该列的最下面，把每行的概率相加放在该行的最右面，就大功告成了。把第一行和最后一行拿出来就是X的分布；把第一列和最后一列拿出来就是Y的分布。例1已知随机向

3、量（X，Y）的联合分布如下表，求关于X和Y的边缘分布。边缘分布pi.和p.j分别是联合分布表中第i行和第j列各联合概率之和．YX-10200.10.2010.30.050.120.1500.1YX-102pi.0120.10.30.150.20.05000.10.10.30.450.25p.j0.550.250.2设连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为f(x,y)由于所以例2设随机变量（X，Y）的密度函数为试求参数k的值及X和Y的边缘密度。通常分别称上式为二维随机变量关于X和Y的边缘密度函数

4、或边缘密度。2.二维连续型随机变量边缘概率密度函数解根据联合密度函数的性质，有所以X的边缘密度函数当0≤x≤1时，当0>x或x>1时,故同理可得解令可见X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22).例3设(X，Y)服从N(μ1，σ12；μ2，σ22；ρ)，求边缘密度。定义设两个随机变量X,Y,若对任意的实数x,y有F(x，y)=FX(x)FY(y)P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}则称随机变量X与Y是相互独立的。1.(X,Y)是离散型若(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=

5、1,2,…),则X与Y相互独立的充分必要条件是对一切i,j=1,2,…,有P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}·P{Y=yi}即3.2.2随机变量的独立性定理1若(X,Y)的f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)·fY(y)2.(X,Y)是连续型证明充分性：若f(x,y)=fX(x)·fY(y)，则必要性：若X、Y互相独立，则F(x,y)=FX(x)·FY(y)，故f(x,y)=fX(x)·fY(y)即例4如果二维随机变量的概率分布用下列表格给出那么当,

6、取什么值时，X与Y才能相互独立？(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)PYX123pi.11/61/91/181/321/31/3++p.j1/21/9+1/18+解先写出联合分布的表格形式，并计算边缘分布．联立以上两式求得若与相互独立，则对于所有的i,j，都有pij=pi.p.j因此例5设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2和=1的指数分布，求解据题意，X的密度函数为Y的密度函数为因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：于是今向一个半径为r的

7、圆内随机投点，则点落在圆内面积相等的不同区域内的概率相等，即落点坐标(X,Y)服从D：x2+y2≤r2区域上的均匀分布.（1）判断X与Y是否相互独立；（2）计算落点（X，Y）到原点的距离不超过a的概率(0

8、为（1）判断X与Y是否独立，即判断对于一切的，等式是否成立.先求边缘分布密度fX(x)和fY(y),当x≤r时当x＞r时fX(x)=0,即（2）落点(X,Y)与原点的距离为求落点(X,Y)到原点的距离不超过a的概率，即同理，可求得Y的边缘密度函数很显然fX(x)fY(y)≠f(x,y)，所以X与Y不独立.(X,Y)的分布(X,Y)的边缘分布一般F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}FX(x)=P{X≤x,Y≤+∞}FY(y)=P{X≤+∞,Y≤y}离散型F(x,y