边缘分布+35随机变量独立性

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1、§3.4边缘分布二维随机向量(X,Y)作为一个整体,有分布函数F(x,y)，其分量X与Y都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成FX(x)和FY(y)，分别称为关于X的边缘分布函数和关于Y的边缘分布函数；称F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数或X与Y的联合分布函数。。FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)，FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数是相对于(X,Y)的联合分布而言的。同样地，(X,Y)的联合分布函数F(x,y)是相对于(X

2、,Y)的分量X和Y的分布而言的。注意:已知联合分布函数，求边缘分布函数的方法：则X的边缘概率分布为Y的边缘概率分布为设(X,Y)是二维离散型随机向量，联合概率分布为3.4.1二维离散型随机向量的边缘分布由联合分布律求边缘分布律可以列成下表因此当i

3、联合分布得到。3.4.2二维连续型随机向量的边缘分布若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则X的边缘概率密度为Y的边缘概率密度为例2：设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1上的均匀分布，求X和Y的边缘概率密度.解:当

4、x

5、＞1时,当-1≤x≤1时,(注意积分限的确定方法)熟练时，被积函数为零的部分可以不写。由X和Y在问题中地位的对称性,将上式中的x改为y，得到Y的边缘概率密度如何验证对否？从例2可见，均匀分布的边缘分布不是均匀分布。可以证明若(X,Y)服从矩形区域：a≤x≤b，c≤y≤d上均匀分布，则其边缘分布一定是均匀分布。详见课本P52例3.4.解:

6、例3:（P52例3.5）例4：设解：由二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,求X和Y的边缘概率密度。（详细推导过程见课本P53例3.6）也就是说对于不同的参数，得到的边缘分布是相同的。因此，仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘分布)一般不能确定(X,Y)的联合概率密度函数(或概率分布)。§3.5随机变量的独立性事件A与B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。设X,Y是两个随机变量,对任意的x,y,若则称X与Y相互独立。用联合分布函数与边缘分布函数表示上式,就是说明若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为（P54定理3.1）

7、几乎总是成立（在平面上除去一个面积为零的集合外，公式总成立）.（P54定理3.2）解:例1:(1)由分布律的性质知特别有又(2)因为X与Y相互独立,所以有解:由于X与Y相互独立,例2:证明：因求证:X与Y独立的充要条件为=0。(P56例3.10)例3：设“”将=0代入联合概率密度函数，得所以，X与Y相互独立。“”若X和Y相互独立，则(x,y)R2，有f(x,y)=fX(x)fY(y).从而，=0。特别地，将x=μ1,y=μ2代入上式，有f(μ1,μ2)=fX(μ1)fY(μ2)，即解:从而，对一切x,y∈R,均有f(x,y)=fX(x)fY(y

8、).故，X与Y是相互独立的。例4：设(X,Y)的概率密度为问：X与Y是否独立？解：由于存在面积不为零的区域D，使得故，X与Y不相互独立。例5：若(X,Y)的概率密度为问X与Y是否独立？例6:设二维随机向量（X，Y）的分布函数为判别X与Y是否独立.解:X的边缘分布函数为显然，对任意x,y，有所以，X与Y相互独立。