维随机变量联合及边缘分布

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1、概率论与数理统计第八讲主讲教师：张冬梅副教授浙江工业大学理学院第三章随机向量有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。3.导弹在空中位置——坐标(X,Y,Z)。1.某人体检数据——血压X和心律Y；例如：2.钢的基本指标——含碳量X，含硫量Y和硬度Z；一般地,将随机试验涉及到的n个随机量X1,X2,…,Xn放在一起，记成(X1,X2,…,Xn)，称为n维随机向量(或变量)。由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。必须把(X,Y)作为一个整体来看待，加以研究。定义:二维随机向量(X,Y

2、)的联合分布函数为取定x0,y0R=(-∞,∞),F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。如果将(X,Y)看成平面上随机点的坐标。§3.1二维随机向量及其分布函数易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:x1

3、).同样,xR给定，当y1≤y2时,F(x,y1)≤F(x,y2).(2).x,yR,有0≤F(x,y)≤1；(3).yR,F(-∞,y)=0，xR,F(x,-∞)=0，F(-∞,-∞)=0，F(∞,∞)=1.其中§3.2二维离散型随机向量如果随机向量(X,Y)的每个分量都是离散型随机变量，则称(X,Y)是二维离散型随机向量。二维离散型随机向量(X,Y)所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。离散型随机变量X的概率分布:离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布:联合概率分布也可以用表格表示。表3.1二维离散型随机向量的联合概率表达式与联合分布

4、函数设二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为pij，i=1,2,,j=1,2,.于是,(X,Y)的联合分布函数为I概率密度设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数,简称概率密度。.§3.3二维连续型随机向量连续型随机变量X的概率密度:连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度:对连续型随机向量(X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：在f(x,y)的连续点；解:(1).由例2：设(X,Y)的联合概率密度为其中

5、A是常数。(1).求常数A；(2).求(X,Y)的分布函数；(3).计算P{0

6、.5/4=1/8。若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度III二维正态分布正态分布(X,Y)的概率密度函数f(x,y)满足:(2)(1)§3.4边缘分布3.4.1边缘分布函数二维随机向量(X,Y)作为一个整体,有分布函数(又称“联合分布函数”)F(x,y)，其分量X与Y都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成FX(x)和FY(y)，分别称为X和Y的边缘分布函数。FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)，FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘

7、分布函数是相对于(X,Y)的联合分布而言的。注意:求法:则X的边缘概率分布为Y的边缘概率分布为设(X,Y)是二维离散型随机向量，联合概率分布为3.4.2二维离散型随机向量的边缘分布解：例1：求(X,Y)的分量X和Y的边缘分布。把这些数据补充到前面表上，3.4.3连续型随机向量的边缘概率密度若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则X的边缘概率密度为Y的边缘概率密度为例2：若(X,Y)服从矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d上均匀分布，则边缘概率密度分别为注：本例中X与Y都是服从均匀分布的随机变量。但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。例3：设(X,Y

8、)服从单位圆域x2+y2≤1上的均匀分布。求X和Y的边缘概率密度。