维随机变量及其联合分布

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1、二维随机变量及其分布第三章二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性两个随机变量的函数的分布例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（X

2、，Y）为Ω上的一个二维随机变量。定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义称为二维随机变量的联合分布函数性质(3)(x,y)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Yy2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率P（x1Xx2，y1Yy2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)二维离散型随机变量若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或

3、可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第

4、一次和第二次取到的球上标有的数字，求的联合分布列.的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例解见书P69，习题1的可能取值为例解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）（X，Y）的联合分布律为yX011/301/600-101/31/1225/1200若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表

5、示成如下形式则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度定义联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶柱体的体积设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数k；(2)求的分布函数；；.(4)求例(1)所以解(2)当时，当时，所以，(3)41或解(4)224例已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率解1续解……….x+y=3思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率2241解答二维均匀分布设二维随机变量的概率密度为上服从均匀分布.在，则称是平面

6、上的有界区域，其面积为其中思考已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）解（X,Y）的密度函数为y=2x+1-1/2（1）当时，分布函数为y=2x+1-1/2（2）当时，y=2x+1-1/2（3）当时，所以，所求的分布函数为0.5y=2x+1-1/2二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为参数则称服从参数为的二维正态分布