边缘分布及相互独立的随机变量

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1、概率论与数理统计二维随机变量及其联合分布一、二维随机变量设Ω={ω}是随机试验E的样本空间，X=X(ω)，Y=Y(ω)是定义在Ω上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。二、离散随机变量的联合分布律P{X=xi,Y=yj}=P{(X=xi)∩(Y=yj)}⑴非负性⑵归一性pP{Xi,Yj}0ijp1iji,j1,2,i1j1三、联合分布函数二维随机变量(X,Y)在直角角形区域{(X,Y)

2、－∞≤X≤x,－∞≤Y≤y}内的取值概率P{X≤x,Y≤y}称为该二维随机变量的联合分布函数，记为F(x,y).yx,y

3、0x四、二维连续型随机变量1.设(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存y在非负函数f(x,y)，可使(x,y)xyF(x,y)f(u,v)dudvox则称二维随机变量(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度。F(x,y)可表为某个可积函数f(x,y)在右上顶点为(x,y)的无穷开放矩形域上的广义积分.2.联合概率密度的性质(1)非负性:f(x,y)≥0(2)归一性:f(x,y)dxdy1(3)(X,Y)在任何平面区域G上的取值概率P{(X,Y)G}f(x,y)dxdyG(4)若f(x,y)在(x,

4、y)处连续，则2注意:F(x,y)f(x,y)xy混合偏导数!从本质上讲，联合分布所描述的是与两随机变量的积事件有关的概率分布规律。例如⑴联合分布律pP{Xi,Yj}P(Xi)(Yj)ij⑵联合分布函数F(x,y)P{Xx,Yy}P(Xx)(Yy)⑶联合密度函数22F(x,y)f(x,y)P{Xx,Yy}xyxy第二讲边缘分布及相互独立的随机变量边缘分布函数;边缘分布律、边缘概率密度Y=y一、边缘分布1.(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数X和Y作为一维随机变量（关于自身）的分布函数FX(x)和FY(y)，分

5、别称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数。2.边缘分布函数的一般计算方法FX(x)=P{X≤x}X=x=P{X≤x,Y＜＋∞}=F(x，＋∞)FY(y)=P{Y≤y}=………=F(＋∞，y)pP{Xx,Yy},i,j1,2,ijijP{Xxi}P{Xxi,Yyj}pijj1j1P{Yyj}P{Xxi,Yyj}piji1i1XxxxY12iy1p11p21pi1y2ppp1222i2ypppj1j2jijPiP{Xxi}pij,i1,2,;j1PjP{

6、Yyj}pij,j1,2,.i1P{Xxi}piP{Yy}pijpijP{Xxi},i1,2,j1pjpijP{Yyi}，j1,2,i1X123Y123pi1/31/31/3pj11/185/181/9Ex.设一只口袋中有5个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字0，现从中：(⑴)有放回地摸两个球；（2）无放回地摸两个球；以X表示第一次摸到的球上标有的数字，以Y表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律．解：(1)(X，Y)所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(

7、1，1)则：P{X0,Y0}339P{X0}P{Y0

8、X0}5525解：(1)(X，Y)所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则：P{X0,Y0}339P{X0}P{Y0

9、X0}5525同理：326P{X0,Y1},552564P{X1,Y0},P{X1,Y1}2525YX01P{X=xi}09/256/253/516/254/252/5P{Y=y}3/52/51j(2)(X，Y)所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)323则：P{X0,Y0}P{X0}P{

10、Y0

11、X0}5410323P{X0,Y1}5410同理31P{X1,Y0},P{X1,Y1}1010于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：YX01P{X=xi}03/103/103/513/101/102/5P{Y=y}3/52/51jYX01P{X=xi}09/256/253/5比比看16/254/252/5P{Y=y}3/52/51j在什么情况下,由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？YX01P{X=xi}03/103/103/513/101/102/5P{Y=y}3/52/51j