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1、随机变量相互独立的定义课堂练习小结布置作业第四节相互独立的随机变量两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X和Y相互独立.一、随机变量相互独立的定义用分布函数表示,即设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X和Y相互独立.它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中是X和Y的联合密度，几乎处处成立，则称X和Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型随机变量，则上述独立性的定义等
2、价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.若(X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有二、例1若Ｘ，Ｙ具有联合分布律０ １ＸＹ１／６ ２／６１／６ ２／６１２Ｐ｛ｘ＝ｉ｝Ｐ｛ｙ＝ｊ｝１／３ ２／３１／２１／２１问X和Y是否独立？解P{X=0,Y=1}=1/6=P{X=0}P{Y=1}P{X=0,Y=2}=1/6=P{X=0}P{Y=2}P{X=1,Y=
3、1}=2/6=P{X=1}P{Y=1}P{X=1,Y=2}=2/6=P{X=1}P{Y=2}因而Ｘ，Ｙ是相互独立的．再如第二节的例２中随机变量Ｆ和Ｄ，由于Ｐ{D=1,F=0}=1/10Ｐ{D=1}P{F=0},因而F和D不是相互独立的例2二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解由第二节中例5知道,其边缘概率密度的乘积为因此,如果,则对于所有x,y有即X,Y相互独立.反之,如果X,Y相互独立,由于都是连续函数,故对于所有的x,y有.特别,令自这一等式得到从而.综上所述,可得以下结论:对于二维随机变
4、量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数.例3一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.解设X为负责人到达时间,Y为他的秘书到达时间由假设X,Y的概率密度分别为所求为P(
5、X-Y
6、1/12),由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率记G=
7、X-Y
8、1/12,所以被积函数为常数，直接求面积P(
9、X-Y
10、1/12)(此图以分钟为单位)类似的问题如：甲、乙两船同日
11、欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.盒内有个白球,个黑球,有放回地摸球例4两次.设第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球试求(1)的联合分布律及边缘分布律;(2)判断的相互独立性;(3)若改为无放回摸球,解上述两个问
12、题.(1)的联合分布律及边缘分布律解如下表所示:(2)由上表可知故的相互独立.(3)的联合分布律及边缘分布律如下表所示:故不是相互独立.由上表知:可见三、多维随机变量的一些概念上面说过，n维随机变量的分布函数定义为其中为任意实数.如存在非负函数,使对于任意实数有则称为的概率密度函数.四、课堂练习1.设随机变量(X,Y)的概率密度是问X和Y是否相互独立?2.证明对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数.这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量
13、相互独立的条件，希望同学们牢固掌握.五、小结六、布置作业《概率统计》标准化作业(三)
