关于欧氏空间中与维数相关习题处理的注记

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1、关于欧氏空间中与维数相关习题处理的注记杨忠鹏　晏瑜敏　林志兴　戴培培莆田学院数学系有限维线性空间是高等代数的最重要的研究对象，它是教学的重点。但是关于线性空间的不少重要定义并不是在有限维空间上定义，而是在一般情况下定义的，之后再转入以有限维线性空间为主讨论。虽然，在整体的教学过程中还是以有限维线性空间作为研究的重点，但是在教学中却又不可避免地要接触到无限维的情况。本文仅就欧氏空间中与维数相关习题的处理，谈我们的一些看法。这里为V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧氏空间。当且仅当时4）定义1（见[1]）设V是实数域R上的一个线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称

2、为内积，记作，它具有以下性质：1）2）3）[1]中还以具体的实例来认识欧氏空间，这其中就有闭区间上所有实连续函数所成空间C(a,b)，对于函数定义内积构成的欧氏空间。同时也指出实数域上一元多项式R[x]对于上述内积也构成欧氏空间。这说明教材本身也要求将无限维的欧氏空间作为学生熟悉的对象。这类问题的研究特点正如[1,P363]所说“在…讨论中，我们对空间的维数并没有作任何限制”，而且对有限维空间的讨论应当要具体说明。这样在将把有限维空间作为研究主体和重点的情况下，应慎重地处理和对待没有指明欧氏空间维数的问题。定义2（见[1]）欧氏空间V的线性变换称为正交变换，如果它保持向量的内积

3、不变，对任意的定义3（见[1]）欧氏空间V的线性变换若满足：则称为对称变换。在北大数学系编的《高等代数》（第二版）教材中有一道习题（见[2，P397习题23]）：命题1如果是正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。题设中并没有限定是有限维欧氏空间上的线性变换。一般文献中给出的解答如下：再扩充成V的一组标准正交基：那么又　是正交变换，故有文献[3]中：又所以是的不变子空间。任取那么设W是任不变子空间，取是W的一组标准正交基，设W是任不变子空间，取是W的一组标准正交基，文献[4]中：再扩充成V的一组标准正交基：那么由　是正交变换，所以也是V的标准正交基。又由于W是的不变

4、子空间，所以是W的一组标准正交基，而任取，那么所以是的不变子空间。这些解法对于n维欧氏空间无疑是正确的，但对于一般欧氏空间来说却未必是正确的。事实上，对于无限维欧氏空间来说命题1的结论是不成立的。且当时，约定例如，定义内积显然，是V的一个正交变换。令则所以W是的一个不变子空间。即不是的不变子空间。，进而又即上例说明在目前一般教材的定义下，不仅文献[3]、[4]给出的解法是不妥的，更重要的是这个命题本身是有问题的。事实上文献[1]、[5]、[7]、[8]都已经注意到了这个问题。但[7]、[8]仅通过反例指出当V及W皆为无限时结论可能不成立，并没有给出修正意见。[5]则指出[2]的

5、结论“只适用于有限维欧氏空间，在无限维欧氏空间中并不成立”。而作为[2]的第三版的[1]中相应习题也确实作了变化（见[1,P396习题23]），即在国内影响很大的[6,P341习题2]、[10,P296习题2]，始终是以命题2的形式给出的，同时期北大数学系编高等代数第一版[11,P373习题23]和第二版[2，P397习题23]中都对维数没有限定（即是命题1的形式），而在其第三版[1]中就增加了有限维的条件，也就是命题2的形式.命题2如果是n维欧氏空间的一个正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。但是，我们认为[5]中关于命题1的结论“只适用于有限维欧氏空间”的说法

6、也是欠妥的。命题3设W是欧氏空间V的有限维子空间，则W有唯一的正交补。证明：设为W的标准正交基，定义则且对于所以是V的一个子空间。1从知又从而有且若还有　　　　　　且则对任意有使又所以于是从而因此即同理，所以由此知，W的正交补是唯一的。还应当注意到的是，对于无限维欧氏空间的一个无限维子空间来说，它的正交补有可能不存在。例如（见[9]）定义内积令任取若则，故（　是互不相同的自然数）即其中当m是偶数时，当m是奇数时，这说明是齐次线性方程组的解。而由此这就证明了　　的奇数次项系数全为0。这个方程组的系数行列式是反之，如果　　的奇数次项全为0，则是一个偶函数，而对是奇函数，即因此，若W

7、有正交补的话，则但所以W不存在正交补。是奇函数，从而于是证明：设W是任意一个不变子空间，取又是正交变换，所以即，知命题4如果是正交变换，那么的有限维不变子空间的正交补也是的不变子空间。是W的一组标准正交基。由于W对不变，从而也为W的一组标准正交基，这样从而是W的标准正交组，由（*）知有使对这样对就有与W中任意向量正交，即可见这就证明了也是的不变子空间。另外，文献[5]中虽然指出对一般欧氏空间的问题不能以“有限维”为前提解决，但很可惜，并没有把这种观点贯彻到底。如[5]对一道习题的解答中就忽略