二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法(2009.10.22)

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1、二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法王捷（烟台南山学院山东烟台265713）摘要：在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项的形式为或的情况占大多数，对于这类微分方程，使用复数法求特解，可使计算量减少将近一半.关键词：微分方程；非齐次项；特解；复数法.中图分类号：01—0文献标识码：BTheuseofcomplexnumbermethodsforSecond-orderconstantcoefficientNon-homogeneouslineardifferentialequationWangjie(YantainanshanUniversit

2、y,Yantai,Shandong,265713)Abstract：Inthesecond-orderconstantcoefficientnon-homogeneouslineardifferentialequation,itaccountsforthemajorityshennon-homogeneoustermsareand.Forthistypeofdifferentialequations,ifmethodsofcomplexnumberareusingspecialsolution,thecalculationoftheamountre

3、ducedbynearlyhalf.Keywords：differentialeguation；Ofnon-homogeneous；particularsolution；methodsofcomplexnumber.1作者简介：王捷，（1952—），男，汉族，山西大同人，烟台南山学院理学院，副教授在高等数学（同济五版）微分方程一章中，对于非齐次项为的二阶常系数非齐次线性微分方程，特解的求法非常繁琐，即便遇到或，即或的情况，也得将其视为或的情况进行求解.即特解的形式都须设为的形式，按不是特征方程的根或是特征方程的根分别取和.然而，在二阶常系数非齐次线

4、性微分方程中，非齐次项形如或1作者简介：王捷，（1952—），男，汉族，山西大同人，烟台南山学院理学院，副教授的情况占大多数.事实上，对于这类微分方程，我们可以用复数法进行求解.下面来介绍这种方法.设二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项为则可看成的实部，可看成的虚部。再设非齐次项为和的微分方程的特解分别为和，则以为非齐次项的微分方程的特解可表示为由欧拉公式可变形为于是二阶常系数非齐次线性微分方程的特解就可设为的形式，其中，按不是特征方程的根或是特征方程的根分别取和.代入微分方程后，所求的特解一定为这种形式.对于非齐次项为的微分方程，特解取，对于非

5、齐次项为的微分方程，特解取，下面通过例子来说明这种方法的应用.例1求微分方程的一个特解.（高等数学同济五版第315页例3）解将非齐次项看成的实部，不是特征方程的根，故特解设为将其代入所给的方程，消去，得比较两端系数，得解得代入所设特解，得去掉虚部，留下实部，求得一个特解为例2求的通解.（高等数学同济五版第317页习题12-9，1-(5)）解将非齐次项看成的虚部，所给方程的特征方程为齐次方程的通解为非齐次项中是特征方程的单根，故可设代入原方程并消去，得，解得3.于是原方程的一个特解为当非齐次项为且和均不为时，可将非齐次项拆成两项后，应用叠加原理使用复

6、数法求解，但起不到简化计算量的作用.参考文献：[1]同济大学应用数学系编.高等数学(第五版)，高等教育出版社,2001年10月.[2]侯风波，高等数学第二版，高等教育出版社，2003年春3.