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1、小结思考题作业预备知识概念的引入概念与性质第二类曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系第九章曲线积分与曲面积分第五节第二类曲面积分1观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧通常光滑曲面都有两侧.(假设曲面是光滑的)第二类曲面积分一、预备知识有两侧的曲面.(1)双侧曲面1.曲面的分类2(2)单侧曲面莫比乌斯(Mobius)带.B、C粘在一起形成的环不通过边界可以这在双侧曲面上是不能实现的.它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，行带.小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去.Mobius(1790--1868)19世纪德国数学家第二类曲面积分3规定第二
2、类曲面积分2.有向曲面决定了侧的双侧曲面有向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面指定的一侧。43.有向曲面在坐标面上的投影设Σ是有向曲面.假定的余弦上各点处的法向量与z轴的夹角有相同的符号.在有向曲面取一小块第二类曲面积分(上侧)(下侧)在xOy面上的投影在xOy面上的投影区域的面积附以一定的实际上就是正负号.5类似地,可定义在yOz面及zOx面的投影:希自己写出第二类曲面积分6流向曲面一侧的流量.流量实例(为平面A的单位法向量)(斜柱体体积)(1)流速场为常向量有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).二、概念的引入第二类曲面积分7(2)设稳定流
3、动的不可压缩流体给出,函数流体的密度与速度均不随时间而变化(假定密度为1)的速度场由当不是常量,曲面求在单位时间内流向指定侧的流体的质量是速度场中的一片有向曲面,第二类曲面积分8分割则该点流速为，法向量为第二类曲面积分9常向量,有向平面求和取近似该点处曲面Σ的单位法向量高底通过Σ流向指定侧的流量第二类曲面积分取极限kjiniiiirrrrgbacoscoscos++=),cos(
4、
5、iiinvvrrr10上式右端极限恰好是数量值函数在曲面Σ上的第一类曲面积分，故可表为第二类曲面积分11二、第二类曲面积分的概念和性质1.定义在Σ上有界，向量值函数是定向曲面Σ上点处的单位法向
6、量，如果第一类曲面积分第二类曲面积分存在，则称此积分为向量值函数在定向曲面Σ上的积分，也称为第二类曲面积分,或对坐标的曲面积分12记作即被积函数积分曲面定向曲面微元2.第二类曲面积分的坐标形式第二类曲面积分则由定义如曲面为封闭曲面:13第二类曲面积分前面讲过，如果在曲面Σ上取一微元dS,则dS在xOy,yOz,zOx面上投影的面积分别为所以，有向曲面微元dS在xOy面上的有向投影为有向曲面微元dS在yOz,zOx面上的有向投影分别为14第二类曲面积分所以，两类曲面积分之间的联系其中不论哪一侧都成立.坐标形式154.物理意义如:上述流向Σ指定侧的流量φ为:也可写成有向曲面元
7、向量的形式第二类曲面积分3.存在条件在有向光滑连续,第二类曲面积分存在.)dd,dd,dd(Sdyxxzzy=r165.性质当曲面Σ垂直于xOy平面时，(1)表示Σ相反的一侧第二类曲面积分(2)其有向曲面微元dS在xOy平面上的投影同理，当曲面Σ垂直于zOx平面时,当曲面Σ垂直于yOz平面时,17四、第二类曲面积分的计算法第二类曲面积分思想:化为二重积分计算.设定向曲面Σ分片光滑，且向量值函数在Σ上连续。计算第二类曲面积分步骤：先分别计算然后将它们相加。18第二类曲面积分求xy型积分(1)(2)19第二类曲面积分,必须注意曲面所取的注侧.第二类曲面积分于是，上侧为正下侧为
8、负前侧为正后侧为负右侧为正左侧为负20计算第二类曲面积分时:(1)认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为这两个变量的函数,并确定Σ的投影域.(2)将Σ的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.(3)根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.第二类曲面积分总结：一投，二代，三定向。21解投影域例计算其中Σ是球面外侧在的部分.第二类曲面积分22极坐标第二类曲面积分23第二类曲面积分时，按前面的方法计算需先把Σ分别向yOz,zOx,xOy平面投影，比较麻烦。下面给出比较简单的计算公式。上各点处的单位法向量由于Σ取上侧，则Σ(1)24于是，其中符号当Σ取上侧时为正，下侧时
9、为负。优点：只需将曲面Σ向xOy面投影。25其中符号当Σ取右侧时为正，左侧时为负。(2)(3)其中符号当Σ取前侧时为正，后侧时为负。26解例下侧.第二类曲面积分,yzy=27由对称性第二类曲面积分28例其中Σ解法一直接用第二类曲面积分计算法.在第一卦限部分的上侧.第二类曲面积分所以，29法二利用两类曲面积分的联系计算.Σ取上侧,锐角.则法向量n与z轴正向的夹角为第二类曲面积分30第二类曲面积分yxzzSyxdd1d22++=31第二类曲面积分则符号的正负与曲面的定侧相对应。32关于曲面侧的性质六、小结第二类曲面积分的计算第二类
