数学分析曲面积分(II)

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1、第十八章曲面积分2008／05／24§18.1第一型曲面积分一、曲面的表示特殊地：特殊地：一、第一型曲面积分的概念与性质引例:设曲面形物质具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).二、第一型曲面积分则第一型曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面S上连续,第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似.•积分的存在性.若S是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的

2、曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知而(光滑)说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.特殊地：解解例3.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则例4.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面例5.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则思考:若例3中被积函数改为计算结果如何?例6.计算其中是介于平面之间的圆柱面分

3、析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.例7.求椭圆柱面位于xoy面上方及平面z=y下方那部分柱面的侧面积S.解:取内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.设一卦限中的部分,则有().(2000考研)三、小结作业(习题集)习题15-21(1,2,3).习题18-11(1,3,5);2(2,4);3;4.