数学分析课件曲面积分

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1、第二十二章曲面积分目的与要求：1.掌握第一型曲面积分的定义和计算公式；2.掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．以及两类曲面积分的联系，3.学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．重点与难点：本章重点是掌握第一、二型曲面积分的定义和计算公式和用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．；难点则是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系.第一节第一型曲面积分一第一型曲面积分的概念与性质1背景：求具有某种非均匀密度物质的曲

2、面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．2第一型曲面积分的定义定义设为空间上可求面积的曲面块，为定义在上的函数．对曲面作分割，它把分成个可求面积的小曲面，的面积记为，分割22-1-16的细度为，在上任取一点．若有极限=且的值与分割与点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲面积分，记作（1）3第一型曲面积分的性质1．线性性:设,存在,,则存在,且2．可加性:设存在,，则，存在,且；反之亦然.二第一型曲面积分的计算定理22．1设有光滑

3、曲面：，，为定义在上的连续函数，则=证略22-1-16例1计算，其中是球面被平面所截的顶部.解：，=====作业P2821，2，3，4.22-1-16第二节第二型曲面积分一曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．二第二型曲面积分的概念1第二型曲面积分的定义定义设函数，，与定义在双侧曲面上的函数．在所指定的一侧作分割它把分成个小曲面，分割

4、的细度，以，，分别为在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定．如的法线正向与轴正向成锐角时，在平面上的投影区域的面积为正，反之，如的法线正向与轴正向成钝角时，在平面上的投影区域的面积为负．在每个小曲面任取一点，若极限++存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数，，在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记为22-1-16(1)上述积分(1)也可写作++2第二型曲面积分的性质1．若都存在，，为常数，则有=2．若曲面由两两无公共内点的曲面块所组成，都存在，则也存在，且=三第二型曲面积分的计算22-1-16定理22．2设为定义在光滑曲面：，，上的连续

5、函数，以的上侧为正侧（这时的法线正向与轴正向成锐角），则有=（2）证由第二型曲面积分的定义==这里，因，立刻可推得，由相关函数的连续性及二重积分的定义有=所以=类似地：为定义在光滑曲面：，上的连续函数时，而的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有=为定义在光滑曲面：，上的连续函数时，而的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有=22-1-16注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1计算，其中是球面在部分并取球面外侧．解曲面在第一，五卦限间分的方程分别为：，：，，=+==

6、=．22-1-16例2计算积分，其中为球面取外侧.解对积分,分别用和记前半球面和后半球面的外侧,则有：;：.因此,=+=.对积分,分别用和记右半球面和左半球面的外侧,则有：;：.因此,+=.对积分,分别用和记上半球面和下半球面的外侧,则有22-1-16：;：.因此,=+=.综上,=作业P2891，2.22-1-16第三节高斯公式与斯托克斯公式一高斯公式定理22．3设有空间区域由分片光滑的双侧闭曲面围成．若函数，，在上连续，且具有一阶连续偏导数，则=其中取外侧．称为高斯公式证只证=类似可证=和=这些结果相加便得到了高斯公式．先设是一个型区域，即其边界曲面由曲面：

7、，：，及垂直于的边界的柱面组成其中．于是按三重积分的计算方法有===22-1-16==其中，都取上侧．又由于在平面上投影区域的面积为零，所以因此=+=对于不是型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个型区域来讨论．详细的推导与格林相似．空间区域的体积公式：=．=例1计算,其中是边长为的正立方体表面并取外侧．解应用高斯公式，所求曲面积分等于22-1-16==二斯托克斯公式双侧曲面的侧与其边界曲线的方向的规定：右手法则．定理22．4设光滑曲面的边界是按块光滑的连续曲线．若函数，，在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则=（2）其中的侧与的方向按右手法则确定．

8、证先证=（3）其中曲面由方程确定，它的