数学分析曲面积分(I)

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1、2008／05／27§18.2第二型曲面积分一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定曲面法向量的指向决定曲面的侧.莫比乌斯带通常由所表示的曲面都是双侧曲面,其法线方向与z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧.当S为封闭曲面时,法线方向朝外的一侧称为外侧，另一

2、侧称为内侧.习惯上把上侧作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为正侧,内侧作为负侧.二、第二型曲面积分的概念与计算1.分割2.求和3.取极限第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质:1.若存在,则有其中2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面所组成,则有由于R在S上连续,上连续(曲面光滑),据在复合函数的连续性,上也连续.由二重积分的定义,这里由第二型曲面积分的定义,所以这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一类似地,当在光滑曲面上连续时,有侧为正侧.侧为正侧.当在光滑曲面上连续时,有这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一例1计算其中S是球面的外侧(图22-6

3、).解曲面S在第一、五卦限部分的方程分别为部分并取球面在它们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分.因积分是沿的下侧进行,故其中例2计算是由曲面所围立体表面的外侧.解曲面其中其投影为其投影为其投影为因此如果光滑曲面S由参数方程给出:若在D上各点它们的函数行列式不同时为零,则分别有注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应S的两个侧,所选定的正特别当平面的正方向对应于曲面向一侧时,式前取正号,否则取负号.其中S为椭球面例3计算的上半部分,并取外侧.由(5)式有解把曲面表示为参数方程:其中积分是在S的正侧进行.由上述的注,(8)式右端取正号,即特殊地：解三、

4、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S为光滑曲面,并以上侧为正侧,R为S上的连续函数,曲面积分在S的正侧进行.因而有由曲面面积公式（第二十一章§6）,其中是曲面的法线方向与z轴正向的交角,它是定义在上的函数.因为积分沿曲面正侧进行,所以是锐角.又由S是光滑的,所以使这点的法线方向与z轴正向的夹角满足等式上连续.应用中值定理,在内必存在一点,或与z轴正向夹角的余弦,则由的连续性,可推于是现以的法线方向时,(10)式右端极限存在.因此由(9)式得当得到这里注意当改变曲面的侧向时,左边积分改

5、变符号;右边积分中角改为.因而也改变符号,其中,分别是S上的法线方向与x轴正向和与y所以右边积分也相应改变了符号.同理可证:轴正向的夹角.一般地有这样,在确定了余弦函数之后,由(11),(12),(13),(14)式便建立了两种不同类型曲面积分的联系.注当曲面由表示,且取上侧因此上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影,从而使计算得到简化.时,两类曲面积分之间的联系例4计算其中为的部分,并取上侧.解上面第二步计算后得到是利用了积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,除了这一项外,其他各积分项全都等于零.四、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代

6、,三定号”作业(习题集)习题18-21(1,3);2,3.