定积分与二重积分曲线积分与曲面积分

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1、第六章定积分与二重积分曲线积分与曲面积分第一节定积分的概念与性质一、两个实例1.曲边梯形的面积曲边梯形：由连续曲线y=f(x)和三条直线x=a,x=b和y=0（即x轴）所围成的图形。y=f(x)Oxyab底：[a,b]；高：y=f(x)（变化的）曲边：y=f(x)（曲线）由封闭曲线所围成的图形的面积往往可化为曲边梯形面积之差（如右图）。OM1(a,0)N1(b,0)xyACBD由此可见，求任意封闭曲线围成的图形的面积，必须先解决曲边梯形的面积问题。下面计算曲边梯形的面积A：（1）分割（化整为零）：将

2、区间[a,b]分成n个小区间a=x0

3、v(t)是时间区间[a,b]上的连续函数，且。求物体在这段时间内所走过的路程s（1）分割：将区间[a,b]分成n个小区间a=t0

4、b]上有界，任取分点：a=x0

5、函数，称f(x)dx为被积表达式，称x为积分变量，a与b分别称为积分下限与上限，称[a,b]为积分区间。简单地讲，定积分就是和式的极限。回顾：（1）曲边梯形的面积：（2）变速直线运动的路程：注意：（1）当存在时，仅与[a,b]及f(x)有关，而与积分变量无关，即（2）当定积分存在时，与[a,b]的分法及的取法无关（3）函数f(x)在区间[a,b]上可积的充分条件常用的有以下两种：（i）函数f(x)在区间[a,b]上连续（ii）函数f(x)在区间[a,b]上只有有限多个间断点，且间断点全为第一类间断点

6、（4）补充规定：三、定积分的几何意义与物理意义1.定积分的几何意义（曲边梯形面积的代数和）可分三种情形讨论：在区间[a,b]上（1）Ay=f(x)yxOab（2）Oyxaby=f(x)A（3）f(x)可正可负A1A2A3xyOy=f(x)ab2.定积分的物理意义定积分的物理意义多种多样，如，变速直线运动的路程等。例1由定积分的几何意义，指出下列积分的值：（1）（2）121OxyyxO1-1例2利用定积分定义及公式计算布置作业：P181:1(双).2.3.4.9.