电路基础 史健芳 ch5直流动态电路分析-2

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1、5.5二阶电路的分析凡是能用二阶线性常微分方程描述的动态电路称为二阶（线性）电路。5.5.1二阶串联电路的零输入响应若电容的初始电压uC(0+)=uC(0－)=U0，电感中的初始电流i(0+)=i(0－)=I0。在t=0时合上开关S。图RLC串联电路的零输入响应+uC+uL+uRSt=0CRiL按照KVL将代入上式得上式是一个以uC为未知量的二阶、线性、常系数、齐次微分方程，设齐次解为Kest，将它代入上式，可得特征方程图RLC串联电路的零输入响应+uC+uL+uRSt=0CRiL根号前有正负两个符号，所以特征根

2、有两个值。特征根是电路的固有频率，它将决定零输入响应的形式。由于R、L、C参数不同,特征根S1，S2可能出现三种不同情况：其特征根为(2)当(R/2L)2=1/LC时，S1，S2是两个相同负实根；(1)当(R/2L)2>1/LC时，S1，S2是两个相异负实根；(3)当(R/2L)2<1/LC时，S1，S2是两个共轭复根，其实部为负数。所以，RLC电路的零输入响应也分为三种情况来讨论。时，称为过阻尼情况。1.此时特征根是两个相异实根，而且均为负根，过渡过程为非振荡放电过程，其通解可表示为其中K1和K2为两个待定的系数。由电路的

3、初始条件决定，该电路有两个储能元件，相应的初始条件有两个，即电容电压和电感电流的初始值时，称为过阻尼情况。1.此时特征根是两个相异实根，而且均为负根，过渡过程为非振荡放电过程，其通解可表示为其中K1和K2为两个待定的系数。由电路的初始条件决定，该电路有两个储能元件，相应的初始条件有两个，即电容电压和电感电流的初始值因，所以有得将这两个初始条件代入式以上两个方程联立求解，可得常数K1和K2。把K1和K2代入式整理可得电容电压电路电流根据并利用可得电感电压根据可得U0≠0，I0=0相当于充了电的电容器对没有电流的线圈放电的情况。

4、因为S1，S2是两个负实数，所以电容电压由两个单调下降的指数函数组成，其放电过程是单调的衰减过程。又因为S1>S2，根据电流i可知，放电电流i始终为负，在t=0时，i=0，在t=∞时电容的电场能量全部为电阻消耗，电流也是零。在中间某一时刻t=tm时，电流i数值最大。由di/dt=0，可算出图非振荡放电过程uC、uL、i随时间的变化曲线Otm2tmtiuC，uL，iU0uLuCU0非振荡放电过程中，在0~tm期间，电容中的电场能量一部分消耗在电阻上，另一部分则变为电感中的磁场能量。当t>tm时，电容中剩余的电场能量和电感中的

5、磁场能量都逐渐消耗在电阻上。当t=tm时，电感电压过零点，当t=2tm时，电感电压为最大。图非振荡放电过程uC、uL、i随时间的变化曲线Otm2tmtiuC，uL，iU0uLuCU0时，称为临界阻尼情况2.此时特征根是两个相等的负实根，S1=S2=－R/2L=－α，微分方程的通解为由初始条件因所以有将这两个初始条件代入式得电路电流时，称为欠阻尼情况3.此时过渡过程为振荡放电过程其中特征根为可得其中可见uC(t)是衰减振荡的，振荡频率为图振荡放电过程uC随时间的变化曲线振荡频率与电路参数有关，而与电源的频率无关。称为自由振荡

6、。从能量关系看，在振荡放电过程中，电容中的电场能量和电感中的磁场能量反复交换，电容反复地充电放电，其两端电压和电路电流以及电感电压均周期变化，这种过程称为电磁振荡。由于电阻消耗能量，故振荡过程中电磁能量不断减少，即电容电压和电路电流不断减少，最终全部消耗在电阻上，各电压电流都衰减到零。放电过程中电容电压和电路电流分别为：其中当R=0时，α=0，则电容电压和电路电流分别为可以看出：uC，i的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频率为ω0。可以看出：uC，i的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频率为ω0。当L、

7、C为任意正值时，可以得出对所有t≥0，总有即任何时刻储能总等于初始时刻的储能，能量不断往返于电场与磁场之间，永不消失。综上所述，电路的零输入响应的性质取决于电路的固有频率s，固有频率可以是复数、实数或虚数，从而决定了响应为衰减振荡过程、非振荡过程或等幅振荡过程。例5-14如图所示电路中，已知US=10V，C=1μF，R=4KΩ，L=1H，开关S原来闭合在1点，在t=0时，开关S由1合向2点。求（1）uC，uR，uL，i；(2)imax。图5-42例5-14电路图解（1）在t=0时，电容用开路线代替，得t0后该电路无激励，

8、为零输入响应。由R、L、C参数知放电过程为非振荡的，特征根为（2）电流最大值发生在时刻，即例5-15某RLC串联电路的R=1，固有频率为－3±j5。电路中的L、C保持不变，试计算：（1）为获得临界阻尼响应所需的R值；（2）为获得过阻尼响应，且固有频率之一为s1=－10时所需的R值。解（1