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《第1章 函数与极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高等数学bellar@sina.com龚 文 玥第一章函数与极限第二章导数与微分第三章不定积分第四章定积分及其应用*第五章无穷级数第六章空间解析几何第七章多元函数及其微分法第八章多元函数积分法第九章常微分方程及其应用*第十章数学计算软件的介绍第一节函数第二节初等函数第三节极限第四节极限的运算第五节函数的连续性第一章 函数与极限一、函数定义1、定义：设x和y是两个变量。Ｄ是一个给定的数集，如果对于每个，按f法则变量y总有唯一的数值和它对应，则称f为D上的一个函数。记作其中x为自变量，y为因变量，函数三要素:函数关系、定义域、值域。2、函数的表示法：解析法、列
2、表法、图示法3、函数举例符号函数在定义域的不同部分，采用不同表达式的函数，称为分段函数。绝对值函数取整函数,即结果为不超过x的最大整数。１、函数的有界性设y=f(x)在(a,b)内有定义。若存在Ｍ>0,使得对所有，有，则称函数在(a,b)内有界。如果不存在这样的Ｍ，则称函数在(a,b)内无界。二、函数的性质2、单调性3、奇偶性4、周期性三、复合函数反函数1、复合函数定义设y=f(u)是数集E上的函数，是从数集D到数集E的函数，对，经过中间变量u，都有唯一的y与之对应，则产生新函数称为数集D上的复合函数。记作注意：并不是任意的函数都可以复合例：和能否复合？和呢？
3、设有函数y=f(x)，若对于，在数集D上有唯一的x与之对应，则得到，称为y=f(x)的反函数。记作定理若函数y=f(x)是定义在数集D上的单调函数，则它的反函数必存在且也在对应的区间上单调。2、反函数定义例在整个定义域上不存在反函数。但适当限制定义域后，就存在反函数。常量幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数二、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及复合步骤所构成，可用一个解析式表示的函数。一、基本初等函数(C是常数)一、数列的极限1、数列定义：若函数f(n)的定义域是，当n从小到大取值，对应函数值的排列称为数列。记为，其中称为通项。引例请问以下数列是否
4、存在极限，若存在，极限是多少？1，-1，1，-1，1，……..对（无论多么小），总正整数Ｎ，当n>Ｎ时，有成立，则称A是的极限或称收敛于A。记为或.若的极限不存在，则称发散。说明：（1）其中可以任意给定，它描述了与A的无限接近程度；（2）N随着的选定而选定且不唯一。2、数列极限定义3、几何意义的极限是1。用数列定义证明(1)(2)(3)定理1收敛数列必有界。推论无界数列必发散。定理2单调有界数列一定收敛。4、数列极限的有关结论有界数列定义若，使一切都满足，则称有界。若Ｍ不存在，则数列无界。例 问，,是否有界。二、函数的极限（一）时函数的极限1、定义对于（无论多
5、么小），如果总，使得当 时，有 ，则A叫做当时 的极限，记作或2、几何意义例证明（二）时函数的极限1、邻域定义称为的邻域，记作把中心去掉，称为的去心邻域即，记作结论:若，则直线y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线。2、极限定义若对，总，当时，有，则Ａ叫做函数当时的极限。记作 或3、几何意义例 证明4、左极限与右极限左极限：或右极限：或结论:极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等例2问的极限是否存在。当 时例1讨论函数当时的极限（三）无穷小量与无穷大量说明：（1）无穷小是一个以0为极限的函数（2）无穷小不是负无穷,也不是很小的数（除了常数0）（3）无穷
6、小必须相对于某一个变化过程而言1、无穷小定义1若当（或）时，函数f(x)的极限为0,则f(x)叫做（或）时的无穷小。无穷小定义2对,若总(或X>0),当(或)时,有,则f(x)叫做无穷小.讨论:数列1,0,2,0,…..n,0,…是无穷大量吗？2、无穷大定义1在x的某个变化过程中，如果无限增大，则称函数f(x)是在这个变化过程中的无穷大。若函数f(x)对（无论多么大），总（或X>0)，当（或）时，有则称（或）时，f(x)为无穷大。记作无穷大定义2例 证明1结论：如果,则直线x=x0是函数y=f(x)的图形的垂直渐近线.3、无穷大与无穷小的关系在自变量的同一变化
7、过程中为无穷大为无穷小为无穷小为无穷大定理1有限个无穷小的和也是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。例求一、无穷小量的运算加、减法乘法除法二、极限的四则运算1、例求极限：2、3、4、5、6、7、8、9、三、极限存在准则与两个重要极限那么limf(x)=A若当（或）时，恒有且重要极限1ＡＯCＢx（一）夹挤定理例题2、1、3、4、我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积——割圆术，得到圆面积A是它的内接正n（)边形的面积当时的极限。怎么得到的呢？（二）单调有界收敛准则单调有界数列
8、必有极限。重要极限2例1求下列极限：（
