第1讲函数、极限与连续

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1、第一讲函数、极限和连续—考占1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式和函数值，尤其注意分段函数，还应会做出简单的分段函数的图像2、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类型3、了解原函数和其反函数之间的关系，会求简单的函数的反函数，注意理解两个函数之间的自变量和因变量之间的关系4、理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程5、掌握基本初等函数的简单性质和图像6、理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变化趋势，会求函数在一点处的左极限和右极限，了解函数在一点处极限存在的充要条件7、了解函数的有关性质，掌握极限的四则

2、运算8、理解无穷大量、无穷小量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量和无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶、等阶）会运用等阶无穷小量代换求极限9、熟练掌握两个重要的极限，最重要的是要明白它们的标准形式，利用它们来简化求极限00C10、掌握洛必达法则，会用洛必达法则求一0、一00、O0-Q0,08,0°,1”，00°型未定式的极限11.理解函数在一点处连续和间断的概念，掌握判断简单函数在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系，会求函数的间断点及确定其类型12.掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单的命题13.理解初等函数

3、在其定义域上连续，会用连续求极限二、例题类型一、求函数的定义域或连续区间及其表达式例2、/(x)=1)，求/[/(x)l例3、设/(x)=+X,X<°,求/'[/(x)]Imo类型二.求函数的值域例4、求下列函数的值域(1)y=3-JF_4x+9；(2)类型三.函数的性质（奇偶性.有界性.单调性和周期性）例5.(1)设函数/(x)=[x]-x,-oo

4、）上是（A.有界函数B.偶函数C.单调函数D、周期函数类型四、极限的定义、求简单极限值.极限性质（局部有界性、唯一性.保号性、收敛性）例6、(1)、lim亦諒畀.n->oc一3(2)若lim(a亠x)=，则d=XTl]兀—122⑶若limd丄+Q+b)=2,则。=,b=(4)已知/(兀)=limln(Z+/)(x>0),求/(x)(12年)n->ooH（5）已知/（x）=lim戶-1,求/（兀）（16年）In"T8兀+1类型五、无穷大与无穷小例7、（1）设当时xtO,/（兀）与g（_r）均为x的同阶无穷小量，则下列命题正确的是（A.fW+g（x）—定是x的高阶无穷

5、小B.f（x）-g（x）—定是x的高阶无穷小C.fWgU）—定是x的高阶无穷小D./⑴仪⑴hO）—定是x的高阶无穷小⑵设当兀t0时，函数/⑴=x-sinx与g⑴是等价无穷小，则常数d,n的值为（A.i11=,n=3B.6?=1,n=3C.a=丄,M=41D.a=,n=4631263sinx+xcos1⑶极限X()lim=宀o(1+cosx)-ln(l+x)A.3B.3C.oD.不存在211(4)limcotx(一一)=xtosinxx类型六、抓大头准则、夹逼准则、单调有界准则、两个重要的极限例&(1)lim(cosx.tan1+疋21XX"I(2)Iim(_!_+

6、_?_++«)=.29旳-^n+“+1n+/i+2“2+〃+〃ji__]n(3)Hm[+++=1•22・3M(77+1)2/⑷设lim(l+~)kx=e'6，则"丄二(5)极限lim2"sin_”十2"(6)极限lim(cos.x)xx-*0(7)求limJQC(1()zx2exA.1B.-1C.0D.不存在2y(8)求极限limln(sin~x+0)-兀=xtoln(C*)-Zr0oo类型七、洛必达法则(一0、一00、00-00,0.00,0°,r,00°型）例9、求下列函数的极限(2)lim1"os工x-td"X(1-COSX)(3)lim(iL)；(5)li

7、m(l-sin3兀)叽丫；x->0(6)lim(cosx),n(,+t2)ox->0类型八、间断点.闭区间上连续函数的性质(零点定理、介值定理)'第一类间断点<间断点S可去间断点[跳跃间断点特点是左右极限都存在I笫二类间断点<1无穷型间断点:limf(limf(x)中至少有一个为o)I+-兀一>切兀T,q)I振荡型间断点：例10(1)确定f(x)=「的间断点及其类型1—X,(2)讨论函数=的连续性，若有间断点,判别其类型2n+X丨-7(3)设/(心3“，求/(力的间断点，并说明其类型。1[ln(l+x)-l

8、0'1，在