第01章 习题 函数与极限

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1、四川大学大学数学习题册第一章函数与极限1.2-1.3数列和函数的极限一、根据数列或函数极限的定义证明下列极限:n(1)2n321.lim0；2.lim；2nnn5n152x4cosx3.lim4；4.lim0；x2x2xxxx5.证明lim1，并求正数X，使得当xX时，就有

2、1

3、0.01.xx1x1（X）二、设{x}为一数列.n1.证明：若limxa，则lim

4、x

5、

6、a

7、；nnnn2.问：(1)的逆命题“若lim

8、x

9、

10、a

11、，则limxa”是否成立？若成

12、立，证明之；nnnnn若不成立，举出反例.（逆命题不成立。反例：x(1)。）n三、判断下列命题的正误：1.若数列{x}和{y}都收敛，则数列{xy}必收敛；（正确）nnnn2.若数列{x}和{y}都发散，则数列{xy}必发散；（错误）nnnn3.若数列{x}收敛，而数列{y}发散，则数列{xy}必发散。（正确）nnnn四、证明：对任一数列{x}，若limxa且limxa，则limxa.n2k12knkkn五、证明：limf(x)A的充分必要条件是limf(x)A且limf(x)A.xx

13、x六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：1.limarctanx，limarctanx和limarctanx不存在xxx2.limsgnx1，limsgnx1和limsgnx不存在xxx1四川大学大学数学习题册xxx3.lime0，lime和lime不存在xxx七、证明：若limf(x)存在，则函数f(x)在x的某个去心邻域内有界.0xx0八、证明：函数f(x)当xx时的极限存在的充分必要条件是左极限，右极限均存在并且0相等，即limf

14、(x)Alimf(x)Alimf(x).xx0xx0xx0九、设f(x)

15、x

16、，求limfx()0，limfx()0和lim()fx0.x0x0x0十、设f(x)sgnx，求limfx()1，limfx()1和lim()fx不存在x0x0x01.4无穷小与无穷大一、填空题111.当x时，是无穷小；当x1时，是无穷大.x1x1112.当x0时，ex是无穷小；当x0时，ex是无穷大.3.当x1时，lnx是无穷小；当x0时，lnx是负无穷大；当x时，lnx是

17、正无穷大.二、选择题11当x0时，函数cos是（D）xx（A）无穷小；（B）无穷大；（C）有界的，但不是无穷小；（D）无界的，但不是无穷大.三、证明函数f(x)xsinx在(0，)内无界，但当x时，f(x)不是无穷大.四、判断下列命题的正确性：1.两个无穷小的和也是无穷小.（正确）2.两个无穷大的和也是无穷大.（错误）3.无穷小与无穷大的和一定是无穷大.（正确）4.无穷小与无穷大的积一定是无穷大.（错误）5.无穷小与无穷大的积一定是无穷大.（错误）6.无穷大与无穷大的积也是无穷大.（正确）2四川大学大学数学习题册五、举例

18、说明：1.两个无穷小的商不一定是无穷小；2.无限个无穷小的和不一定是无穷小.六、根据定义证明：11.当x0时，f(x)xsin为无穷小；x12.当x0时，f(x)ex为无穷大；x3.当x时，f(x)e为无穷小.1.5极限运算法则一、计算下列极限:21.lim(3x2x4)12x22x3x12.lim12x1x22x43.lim4x2x2nx14.limn（n是正整数）x1x1315.lim()13x11x1x33(xh)x26.lim3xh0h二、计算下列极限：11

19、1.lim(3)(2)62xxx23x132.lim2x4xx142xx13.lim032x5xx13四川大学大学数学习题册23xx54.limx10x112n115.lim(...)222nnnn22n1aa...a1b6.lim(

20、

21、1

22、

23、1)a，b2nn1bb...b1ann2317.limn1n1n2332x三、若lim(axb)0，求a,b的值.（a1,b1）xx1ax3四、若lim()，求a的值

24、.（a2）2x11x1x2五、计算下列极限：2xx11.lim2x1xx222.lim(5x4x3)x32x5x13.lim.2x4x6x5六、计算下列极限：211.li