高数函数与极限习题

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1、第一章函数与极限习题课一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念函数的定义函数的性质奇偶性单调性有界性周期性反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数（一）函数1.函数的定义函数的分类2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数5.基本初等函数6.复合函数7.初等函数8.双曲函数与反双曲函数数列极限函数极限左右极限极限存在的充要条件无穷大两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价

2、无穷小及其性质唯一性（二）极限1、极限的定义：单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复合函数的极限极限存在的条件4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；g.利用重要极限5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限7、无穷小的比较8、等价无穷小的替换性质9、极限的唯一性、局部有界性、保

3、号性（三）连续左右连续连续的充要条件间断点定义振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类在区间[a,b]上连续连续函数的运算性质初等函数的连续性非初等函数的连续性连续函数的性质1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题例解将分子、分母同乘以因子(1-x),则例解例解例6解例证明讨论:由零点定理知,综上,例证即xn单调

4、减，有下界故由单调有界原理得例求解一例求解例.求极限例解一解二例证明证由夹逼定理知例解因f(x)在x=0处为无穷间断，即又x=1为可去间断，例解从而由等价无穷小的代换性质得例利用介值定理证明，当n为奇数时，方程至少有一实根证故由函数极限的保号性质可知又n是奇数，所以故由零点定理知和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-co

5、sφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]积化和差sinαsinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2