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1、函数、极限与连续一、函数二、函数的极限三、函数的连续与间断机动目录上页下页返回结束一函数1、函数的定义机动目录上页下页返回结束函数两要素：定义域和对应法则例1、下列各组函数是否相同?为什么?不同不同相同机动目录上页下页返回结束在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.2.分段函数机动目录上页下页返回结束例2、解:故所求定义域为机动目录上页下页返回结束(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo3.函数的性质机动目录上页下页返回结束(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义
2、域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。xoy机动目录上页下页返回结束(3)函数的有界性:xoy-11机动目录上页下页返回结束4.复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如函数链:但函数链不能构成复合函数.可定义复合函数机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:机
3、动目录上页下页返回结束例3、设函数求机动目录上页下页返回结束例4、设求求练习1、设函数机动目录上页下页返回结束例5、求的定义域.练习2、设的定义域为[0,1],机动目录上页下页返回结束例6、练习3、将分解成几个简单函数的复合.机动目录上页下页返回结束5.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,在定义域上可用一个式子表示的函数,称为经过有限次四则运算和复合运算所构成,初等函数.可表为故为初等函数.机动目录
4、上页下页返回结束例7、机动目录上页下页返回结束2、自变量趋于有限值时函数的极限二、函数的极限自变量变化过程的六种形式:1、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:3、无穷小与无穷大4、两个重要极限机动目录上页下页返回结束5、无穷小阶的比较1、自变量趋于无穷大时函数的极限机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2、自变量趋向有限值时函数的极限机动目录上页下页返回结束左极限:右极限：2）单侧极限:机动目录上页下页返回结束例1、求当从0左右两侧趋近于0时，的表达式不一样,须考察左右极限.解：机动
5、目录上页下页返回结束左右极限存在但不相等,例2、解：机动目录上页下页返回结束练习1、设求极限机动目录上页下页返回结束3、无穷小与无穷大定理2.有限个无穷小的和还是无穷小.定理1.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例：反例：机动目录上页下页返回结束例3、解：“抓大头”机动目录上页下页返回结束解：例4、机动目录上页下页返回结束解：例5、机动目录上页下页返回结束4、两个重要极限机动目录上页下页返回结束例6、求下列极限：机动目录上页下页返回结束定义:5、无穷小阶的比较机动目录上页下页返回结束常用等价无穷小
6、:～～～～～～～～注：利用等价无穷小计算极限是一种基本方法机动目录上页下页返回结束不能滥用等价无穷小代换.切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中的各个无穷小不能分别代换.注意：例7、解：机动目录上页下页返回结束例8、错误解法：正确解法：机动目录上页下页返回结束例9、证：机动目录上页下页返回结束2.求4.试确定常数a，b使练习题:机动目录上页下页返回结束可见,函数在点三、函数的连续与间断1、定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在
7、;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束定理1、基本初等函数在定义域内是连续的.定理2、一切初等函数在其定义区间内都连续.定义区间是指包含在定义域内的区间.机动目录上页下页返回结束设例1、机动目录上页下页返回结束2、间断点(不连续的点)分类:第一类间断点:及均存在.若也称若也称第二类间断点:及中至少一个不存在,也称若其中有一个为振荡,也称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.特别地，特别地，机动目录上页下页返回结束为第二类间断点中的无穷间断点.为第二类间断点中的
8、振荡间断点.为第一类间断点中的可去间断点.例2、求下列函数的间断点及其类型机动目录上页下页返回结束(4)为第一类中的跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束注意:若函数在开区间上连续,则结论不一定成立.3、闭区间上连续函数的性质最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上即:设则使一定有最大值和最小值.或在闭区间内有间断点机动目录上页下页返回结束例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界.机动目录上页下页返回结束定理2(介值定理):设且则对A与B之间的任一数C
